Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka pierwiasxtek

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 188 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.11.2016 - 12:15

\int\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}


Użytkownik Zara Asker edytował ten post 13.11.2016 - 12:16

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3409 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 14:42


\int\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}=\int x^0\cdot (1+x^4)^{-\frac{1}{4}}dx

 

podstawienie t^4=\frac{1+x^4}{x^4}=\frac{1}{x^4}+1

 

x^4=\frac{1}{t^4-1}                           4t^3dx=\frac{-4t^3}{(t^4-1)^2}dt

 

Czyli

 

\int (1+x^4)^{-\frac{1}{4}}dx=\int x^{-1}\(\frac{1}{x^4}+1\)^{-\frac{1}{4}}dt=\int x^{-4}\cdot x^3\cdot \(\frac{1}{x^4}+1\)^{-\frac{1}{4}}dt=\int(t^4-1)\cdot t^{-1}\cdot \frac{-t^3}{(t^4-1)^2}dt=-\int \frac{t^2}{t^4-1}dt

 

-\int \frac{t^2}{t^4-1}dt=-\int \frac{t^2}{(t-1)(t+1)(t^2+1}dt=-\frac{1}{2}arctg(t)+\frac{1}{4}\int(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\)=-\frac{1}{2}arctg(t)+\frac{1}{4}ln\|\frac{t+1}{t-1}\|+C

 

=-\frac{1}{2}arctg(\sqrt[4]{\frac{1+x^4}{x^4}})+\frac{1}{4}ln\|\frac{\sqrt[4]{\frac{1+x^4}{x^4}}+1}{\sqrt[4]{\frac{1+x^4}{x^4}}-1}\|+C


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską