Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka całka

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 114 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.11.2016 - 12:07

\int \frac{dx}{sin^4(x)cos^2(x)}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 01:30


\int \frac{dx}{sin^4(x)cos^2(x)}

 

Podejście 1

 

podstawienie t=tg(x)                     dt=\frac{dx}{cos^2(x)}

 

sin^2(x)=\frac{sin^2(x)}{1}=\frac{sin^2(x)}{sin^2(x)+cos^2(x)}=[licznik i mianownik dzielę przez cos^2(x)]=\frac{tg^2(x)}{tg^2(x)+1}=\frac{t^2}{t^2+1}

 

a więc

 

\int \frac{dx}{sin^4(x)cos^2(x)}=\int \frac{dt}{\(\frac{t^2}{t^2+1}\)^2}=\int\(\frac{t^2+1}{t^2}\)^2dt=\int \(1+\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^4}\)dt=1-\frac{2}{t}-\frac{1}{3t^3}+C

 

czyli

 

\int \frac{dx}{sin^4(x)cos^2(x)}=1-\frac{2}{tg(x)}-\frac{1}{3tg^3(x)}+C=1-2ctg(x)-\frac{1}{3} ctg^3(x)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.11.2016 - 02:01

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 02:01

Inne podejście

 

Zauważmy, że

 

\frac{1}{cos^2(x)}=tg^2(x)+1                    oraz                 \frac{1}{sin^2(x)}=ctg^2(x)+1

 

\int \frac{dx}{sin^4(x)cos^2(x)}=\int \(tg^2(x)+1\)\(ctg^2(x)+1\)^2dx=\int \(tg^2(x)+1\)\(\frac{1}{tg^2(x)}+1\)^2dx

 

podstawienie                  t=tg(x)                           dt=\frac{1}{cos^2(x)}dx=(tg^2(x)+1)dx

 

\int \(tg^2(x)+1\)\(\frac{1}{tg^2(x)}+1\)^2dx=\int \(\frac{1}{t^2}+1\)^2dt=\int \frac{1}{t^4}dt+\int \frac{2}{t^2}dt+\int dt

 

-\frac{1}{3t^3}-\frac{2}{t}+t+C=-\frac{1}{3}ctg^3(x)-2ctg(x)+tg(x)+C

 

można jeszcze się pobawić w dodawanie i odejmowanie...

 

 

Wynik o tyle ciekawy, że różni się o tg.... :/    pochodna wychodzi mi poprawna z tego podstawienia.... hmmm :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.11.2016 - 02:13

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Zara Asker

Zara Asker

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 114 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.11.2016 - 12:28

Czy tu jest cos nie tak


  • 0





Tematy podobne do: Całka całka     x