Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Reszta maclaurina

Ciągi wektorowe i liczbowe Szeregi

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 beatrix

beatrix

    Ułamek

  • Jr Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.10.2016 - 17:34

Znaleźć szereg taylora f(x)=ln(x+1) oraz wyznaczyc najmniejsza liczbe skladnikow do obliczenia ln0,5 z bledem >10^{-8}

 

Oto co zrobiłam

 

f(x)=ln(x+1), c=0

 

</p>\\<p>f^1 =\frac{1}{x+1}</p>\\<p>f^2 = -\frac{1}{(x+1)^2}</p>\\<p>f^3 =\frac{2}{(x+1)^3}</p>\\<p>f^4 = -\frac{6}{(x+1)^4}</p>\\<p>f^k =\frac{(-1)^{k-1} \cdot (k-1)!}{x^k}</p>\\<p>

 

</p>\\<p>f^1(0) = 1</p>\\<p>f^2(0) = -1</p>\\<p>f^3(0) = 2</p>\\<p>f^4(0) = -6</p>\\<p>

 

f(x)=ln(x+1)\approx x-\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}-\frac{6x^4}{4!}\pm . ..... .+E_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} \cdot x^k\cdot(k-1)!}{k!} + E_n(x)

 

No i tutaj mam problem z wyznaczeniem reszty.. Próbowałam coś takiego:

E_n(x)=f^{(n+1)}(c)\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{c^{k+1}}\cdot \frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)!}

 

Tylko, że coś nie pasuje. Nie rozumiem jak wyznaczyć tę resztę. Ta f^{n+1} sprawa mi ogromne problemy..


Użytkownik beatrix edytował ten post 27.10.2016 - 17:35

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2864 postów
397
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 28.10.2016 - 17:20

f(x)=ln(x+1)\approx x-\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}-\frac{6x^4}{4!}\pm . ..... .+E_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} \cdot x^k\cdot(k-1)!}{k!} + E_n(x)

 
=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} }{k}\cdot x^k + E_n(x)
 
f^{(n+1)}(x)=\fr{(-1)^{n}n!}{(x+1)^{n+1}}

 


  • 0

#3 beatrix

beatrix

    Ułamek

  • Jr Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.10.2016 - 13:56

 

 
=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} }{k}\cdot x^k + E_n(x)
 
f^{(n+1)}(x)=\fr{(-1)^{n}n!}{(x+1)^{n+1}}

 

 

 

Mogę wiedzieć dlaczego taki wzór? Niby mój także działa, ale Twój jest znacznie 'ładniejszy'. 

 

EDIT: Dobra, skróciłam silnie i rzeczywiście taki jest. 

 

f^{n}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}

E_{n}(x)=f^{n+1}(c)\frac{(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(-1)^{k+1-1}(n+1-1)!x^{n+1}}{c^{k+1}(n+1)!} Tak to powinno być? 


Użytkownik beatrix edytował ten post 29.10.2016 - 14:54

  • 0

#4 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2864 postów
397
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.10.2016 - 18:47

f^{n}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}

 

Skąd bierzesz k?

 

f^{(n)}=\fr{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^{n-1}}

 

f^{(n+1)}(x)=\fr{(-1)^{n}n!}{(x+1)^{n}}\quad\to\quad f^{(n+1)}(c)=\fr{(-1)^{n}n!}{(c+1)^{n}}

 

 


  • 0

#5 beatrix

beatrix

    Ułamek

  • Jr Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.10.2016 - 16:44

Skąd bierzesz k?

 

f^{(n)}=\fr{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^{n-1}}

 

Kwestia nazewnictwa :) Tutaj w mianowniku nie powinno być (x+1)^{n+1}?

 

Będzie coś takiego?

 

E_{n}(x)=f^{n+1}(c) \cdot \frac{(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(-1)^{n} \cdot n! \cdot x^{n+1}}{(c+1)^{n+1} \cdot (n+1)!} = \frac{(-1)^n \cdot x^{n+1}}{(c+1)^{n+1} \cdot (n+1)}


Użytkownik beatrix edytował ten post 30.10.2016 - 16:45

  • 0

#6 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2864 postów
397
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.10.2016 - 19:14

Kwestia nazewnictwa :) Tutaj w mianowniku nie powinno być (x+1)^{n+1}?

 

To nie kwestia nazewnictwa. Stopień pochodnej i wykładniki potęg muszą zawierać tę samą literę (np. n albo k)  :)

 

co do pytania: ani tak ani tak jak napisałam wyżej; w mianowniku powinno być  (x+1)^n


  • 0

#7 beatrix

beatrix

    Ułamek

  • Jr Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.10.2016 - 21:30

Tak, tak. Chodziło mi o f^{n+1} pochodną. E_{n}(x) dobrze jest policzona? (post wyżej). Co dalej trzeba zrobić? 


Użytkownik beatrix edytował ten post 30.10.2016 - 22:27

  • 0