Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Ciągi (1+1/n)^n

Ciągi wektorowe i liczbowe

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Natalka1584

Natalka1584

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 12.10.2016 - 13:14

Hej wszystkim !! ^^ która duszyczka, pomoże mi rozwiązać to zadanie ? :)

Treść: Wykaż, że (1+ \frac{1}{n})^n jest monotoniczny i ograniczony. Zastosuj dwumian Newtona.

Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.10.2016 - 14:33
TeX edycja

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.10.2016 - 14:45

Pewności nie mam ale wydaje mi się, że jest to pokazane krok po kroku w książce Analiza matematyczna w zadaniach 1 - L. Włodarski, W. Krysicki

 

tylko nie wiem czy jest tam wykorzystany dwumian


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.10.2016 - 13:18

Od czegoś trzeba zacząć więc może załóżmy, że ciąg an=\(1+\frac{1}{n}\)^n jest ograniczony i rosnący

 

Na podstawie nierówności Bernoullego

 

\wedge_{x>-1}\, \wedge_{x\neq 0}\, \wedge_{n\in N} (1+x)^{n+1}>1+(n+1)x

 

więc dla dowolnego n\in N oraz dla x=-\frac{1}{(n+1)^2}  mamy

 

(1-\frac{1}{(n+1)^2}\)^{n+1}>1-\frac{1}{n+1}

 

stąd

 

\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+1} \(1-\frac{1}{n+1}\)^{n+1}>1-\frac{1}{n+1}

 

 

 \(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+1}>\(1-\frac{1}{n+1}\)^{-n}

 

Przekształcając

 

 \(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+1}>\(1+\frac{1}{n}\)^{n}

 

 

Czyli mamy monotoniczność (ciąg rosnący). Ograniczoność ze wzoru Newtona od dołu przez 2 od góry przez 3

 

 

To tylko szkic trzeba to jeszcze lepiej porozpisywać - sprawdź jak to wykazali w książce i czy dobrze napisałem. :)

 

w razie pytań pisz


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 14.10.2016 - 08:30

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską