Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka funkcji trygonometrycznej

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 09.07.2016 - 10:39

\int\sqrt{tg^2(x)+4}


Użytkownik Zara Asker edytował ten post 09.07.2016 - 10:39

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.08.2017 - 12:09

\int\sqrt{tg^2(x)+4}

 

Podstawiając tg(x)=t   dt=\frac{1}{cos^2(x)}dx=(1+tg^2(x))dx    więc

 

\int\sqrt{tg^2(x)+4}=\int \frac{\sqrt{t^2+4}}{t^2+1}dt

 

teraz t=2tg(v)      dt=\frac{2}{cos^2(v)}dv          \sqrt{t^2+4}=\sqrt{4 tg^2(v)+4}=2\sqrt{tg^2(v)+1}=\frac{2}{cos^2(v)} 

 

ale         \frac{1}{cos(x)}=sec(x)                    czyli

 

\int \frac{\sqrt{t^2+4}}{t^2+1}dt=\int \frac{2sec^2(v)}{4tg^2(v)+1}\cdot 2 sec(v)dv=4\int \frac{sec^3(v)}{4tg^2(v)+1}dv

 

Teraz można licznik i mianownik pomnożyć przez cos^4(v)

 

4\int \frac{sec^3(v)}{4tg^2(v)+1}dv=4\int \frac{ cos(v)}{4sin^2(v)cos^2(v)+cos^4(v)}dv

 

z jednynki trygonometrycznej mamy cos^2(v)=1-sin^2(v)  oraz

 

4\int \frac{ cos(v)}{4sin^2(v)cos^2(v)+cos^4(v)}dv=4\int \frac{ cos(v)}{1+2sin^2(v)-3sin^4(v)}dv

 

podstawiając k=sin(v) dostaniemy całkę funkcji wymiernej

 

=4\int \frac{dk}{-3k^4+2k^2+1}

 

\fbox{ \int \frac{1}{-3x^4+2x^2+1}dx=\int \frac{3}{4\left(3x^2+1\right)}+\frac{1}{8\left(x+1\right)}-\frac{1}{8\left(x-1\right)}dx \\ \int \frac{3}{4\left(3x^2+1\right)}dx=\frac{\sqrt{3}}{4} arctg \left(\sqrt{3}x\right) \\ \int \frac{1}{8\left(x+1\right)}dx=\frac{1}{8}\ln \left|x+1\right| \\ \int \frac{1}{8\left(x-1\right)}dx=\frac{1}{8}\ln \left|x-1\right|}

 

Teraz tylko podstawić i powrócić do wyjściowej zmiennej


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 31.08.2017 - 06:54

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.08.2017 - 19:05

Podstawiając tg(x)=t   dt=\frac{1}{cos^2(x)}dx=(1+tg^2(x))dx    więc

 

\int\sqrt{tg^2(x)+4}=\int \frac{\sqrt{t^2+4}}{t+1}dt

 

Coś trochę nie tak poszło

 

\int\sq{tg^2x+4}\,dx=\int\fr{\sq{t^2+4}}{t^2+1}\,dt


  • 1

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.08.2017 - 06:57

No tak zapomniałem dać "2" ki. Dalsze obliczenia już ją uwzględniały

Dzięki


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.09.2017 - 23:26

\int{\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=t-\tan{\left(x\right)}\\</p>\\<p>\tan^{2}{\left(x\right)}+4=t^2-2t\tan{\left(x\right)}+\tan^{2}{\left(x\right)}\\</p>\\<p>4=t^2-2t\tan{\left(x\right)}\\</p>\\<p>2t\tan{\left(x\right)}=t^2-4\\</p>\\<p>\tan{\left(x\right)}=\frac{t^2-4}{2t}\\</p>\\<p>\left(1+\tan^2{\left(x\right)}\right)\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-4\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\left(1+\frac{t^4-8t^2+16}{4t^2}\right)\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\frac{t^4-4t^2+16}{4t^2}\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\cdot\frac{4t^2}{t^4-4t^2+16}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=2\frac{t^2+4}{t^4-4t^2+16}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=t-\frac{t^2-4}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=\frac{t^2+4}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{\left(t^2+4\right)^2}{t\left(t^4-4t^2+16\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{2t\left(t^2+4\right)^2}{t^2\left(t^4-4t^2+16\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>u=t^2\\</p>\\<p>\mbox{d}u=2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{\left(u+4\right)^2}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{u^2+8u+16}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{u^2-4u+16+12u}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}u}{u}}+\int{\frac{12}{u^2-4u+16}\mbox{d}u}\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}u}{u}}+\int{\frac{12}{\left(u-2\right)^2+12}\mbox{d}u}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{12}{\left(u-2\right)^2+12}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>u-2=2\sqrt{3}v\\</p>\\<p>\mbox{d}u=2\sqrt{3}\mbox{d}v\\</p>\\<p>24\sqrt{3}\int{\frac{\mbox{d}v}{12v^2+12}}\\</p>\\<p>2\sqrt{3}\int{\frac{\mbox{d}v}{v^2+1}}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(\ln{\left|u\right|}+2\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{u-2}{2\sqrt{3}}\right)}\right)\\</p>\\<p>\ln{\left|t\right|}+\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{t^2-2}{2\sqrt{3}}\right)}\\</p>\\<p>\ln{\left|\tan{\left(x\right)}+\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}\right|}+\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{1+\tan^{2}{\left(x\right)}+\tan{\left(x\right)}\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}}{\sqrt{3}}\right)}+C\\</p>\\<p>

Można było jednym podstawieniem, te pozostałe podstawienia są tylko dla wygody 

 


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 18.09.2017 - 23:52

  • 2

#6 Aszyrbrek

Aszyrbrek

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.10.2017 - 07:57

A no to nie jest to takie proste.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 11.10.2017 - 17:27
Linki

  • 0