Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Oblicz pole równoległoboku

Planimetria i przekształcenia geometryczne

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 gustaw

gustaw

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 117 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.06.2016 - 07:32

ABCD jest równoległobokiem oraz jego przekatne  przecinaja się w punkcie O.  P oraz Q są odpowiednio środkami  AO oraz BC. Niech AB=2 oraz \angle A = \angle DPQ,    \angle DBA = \angle DQP. Oblicz pole ABCD


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 20.06.2016 - 20:07

\bl a=AB=2\ \ \ \alpha=\angle DAB=\angle DPQ\ \ \ \beta=\angle DBA=\angle DQP
 
umieszczę ten równoległobok we współrzednych
A=(0,0)\ \ B=(a,0)\ \ C=\(a+h\,ctg\alpha,\,h\)\ \ D=\(h\,ctg\alpha,h\)\ \ Q=\(a+\fr12h\,ctg\alpha,\,\fr12h\)
 
AD=\fr{h}{\sin\alpha}
 
BD=\sqrt{a^2+h^2-2ah\,ctg\alpha+h^2ctg^2\alpha}
 
DQ= \fr12\sqrt{4a^2+h^2-4ah\,ctg\alpha+h^2ctg^2\alpha}
 
\{\angle DPQ=\alpha\\\angle DQP=\beta\gr\ \Rightarrow\ \triangle DPQ\approx\triangle DAB  w skali  k=\fr{DQ}{BD}=\fr{\sqrt{4a^2+h^2-4ah\,ctg\alpha+h^2ctg^2\alpha}}{\sqrt{4a^2+4h^2-8ah\,ctg\alpha+4h^2ctg^2\alpha}}
 
DP=AD\cd k=\fr{hk}{\sin\alpha}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PQ=AB\cd k=ak
 
z dwóch powyższych wynikają współrzędne jakie powinien mieć punkt  P=(x_p,y_p)
 
\{(x_p-x_d)^2+(y_p-y_d)^2=DP^2\\(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2=PQ^2\gr\ \Rightarrow\ \{\(x_p-h\,ctg\alpha\)^2+(y_p-h)^2=\fr{h^2k^2}{\sin^2\alpha}\\\(x_p-a-\fr12h\,ctg\alpha\)^2+\(y_p-\fr12 h\)^2=a^2k^2\ \ \ \(^{*1}\)
 
z drugiej strony  P musi należeć do prostej zawierającej przekątną  AC o równaniu
 
\fr{x-x_a}{x_c-x_a}=\fr{y-y_a}{y_c-y_a}\gr\ \Rightarrow\ \fr{x}{h\,ctg\alpha+a}=\fr{y}{h}\gr\ \Rightarrow\ y=\fr{h}{h\,ctg\alpha+a}\cd x\gr\ \Rightarrow\ y_p=\fr{h}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p
 
podstawię to do  \(^{*1}\)
 
\{\(x_p-h\,ctg\alpha\)^2+\(\fr{h}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p-h\)^2=\fr{h^2k^2}{\sin^2\alpha}\\\(x_p-a-\fr12h\,ctg\alpha\)^2+\(\fr{h}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p-\fr h2\)^2=a^2k^2
 
\{x_p^2-2h\,ctg\alpha\cd x_p+h^2ctg^2\alpha+\(\fr{h}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p\)^2-\fr{2h^2}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p+h^2=\fr{h^2k^2}{\sin^2\alpha}\\x^p_2+a^2+\fr14h^2ctg^2\alpha-2ax_p-h\,ctg\alpha\cd x_p+ah\,ctg\alpha+\(\fr{h}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p\)^2-\fr{h^2}{h\,ctg\alpha+a}\cd x_p+\fr14h^2=a^2k^2
 
odejmę stronami i uporządkuję
 
\(2a-h\,ctg\alpha-\fr{h^2}{h\,ctg\alpha+a}\)\cd x_p+\fr{3h^2}{4\sin^2\alpha}-a^2-ah\,ctg\alpha=\fr{h^2k^2}{\sin^2\alpha}-a^2k^2
 
x_p=\fr{a^2-\fr{3h^2}{4\sin^2\alpha}+ah\,ctg\alpha+\fr{h^2k^2}{\sin^2\alpha}-a^2k^2}{2a-h\,ctg\alpha-\fr{h^2}{h\,ctg\alpha+a}}
 
punkt  P będzie należał do przekątnej gdy będzie  \bl\alpha=90^{\circ}\gr\ \Rightarrow\ \{x_p=\fr{a\(a^2(1-k^2)+h^2(k^2-\fr34)\)}{2a^2-h^2}\\k^2=\fr{4a^2+h^2}{4a^2+4h^2}
 
żeby punkt  P  był środkiem odcinka  AO  musi być  x_p=\fr14a
 
\fr{a\(a^2(1-k^2)+h^2(k^2-\fr34)\)}{2a^2-h^2}=\fr14a\gr\ \Rightarrow\ \fr{2ah^2}{4a^2+4h^2}=\fr a4\gr\ \Rightarrow\ \bl h=a\gr\ \Rightarrow\ \re P=4
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 
 
 

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 gustaw

gustaw

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 117 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.06.2016 - 22:41

a nie da się jakoś wykazać łatwiej ze to jest kwadrat?


  • 0