Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Nietabelkowe wartości funkcji trygonometrycznych

Trygonometria płaska

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 Agnieszka Giemza

Agnieszka Giemza

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.06.2016 - 17:20

Jak obliczyć wartości sinusów i kosinusów dla kątów
1^{\circ}, 3^{\circ}, 9^{\circ}, 18^{\circ}, 27^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 63^{\circ} 72^{\circ}, 81^{\circ}, 87^{\circ}, 89^{\circ}

Czy zawsze da się podać wartość nie używając ułamków nieskończonych dziesiętnych?

Jakie niestandardowe kąty da się policzyć?


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 06.06.2016 - 17:36
Edycja TeX

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.06.2016 - 17:42

To może taki mały spis na początek

 

<br>\\\begin{array} {|l|c|c|l|}\hline<br>\\\alpha \mbox{ w stopniach} & sin(\alpha) & cos(\alpha)& Nr posta\\ \hline<br>\\1 & & & \\ \hline<br>\\2 & & & \\ \hline</p>\\<p>3 &\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{16} & & \mbox{7 i 9} \\ \hline</p>\\<p>4 & & & \\ \hline</p>\\<p>5 & & & \\ \hline</p>\\<p>6 & & & \\ \hline</p>\\<p>7 & & & \\ \hline</p>\\<p>8 & & & \\ \hline</p>\\<p>9 & \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (5+\sqrt{5})}} & \frac{\sqrt{2+\sqrt{\frac{1}{2}(5+\sqrt{5})}}}{2} & \\ \hline</p>\\<p>10 & & & \\ \hline</p>\\<p>11 & & & \\ \hline<br>\\12 & & & \\ \hline</p>\\<p>13 & & & \\ \hline</p>\\<p>14 & & & \\ \hline</p>\\<p>15 & & & \\ \hline</p>\\<p>16 & & & \\ \hline</p>\\<p>17 & & & \\ \hline</p>\\<p>18 & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\left(5+\sqrt{5}\right)} & \\ \hline</p>\\<p>19 & & & \\ \hline</p>\\<p>20 & & & \\ \hline</p>\\<p>21 & & & \\ \hline<br>\\22 & & & \\ \hline</p>\\<p>23 & & & \\ \hline</p>\\<p>24 & & & \\ \hline</p>\\<p>25 & & & \\ \hline</p>\\<p>\hline\end{array}

 

<br>\\\begin{array} {|l|c|c|l|}\hline</p>\\<p>\alpha \mbox{ w stopniach} & sin(\alpha) & cos(\alpha)& Nr posta\\ \hline</p>\\<p>26 & & & \\ \hline</p>\\<p>27 & \frac{1}{4}\(\sqrt{\sqrt{5}+5}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\) & \frac{1}{4}\(\sqrt{\sqrt{5}+5}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\) & \\ \hline</p>\\<p>28 & & & \\ \hline</p>\\<p>29 & & & \\ \hline</p>\\<p>28 & & & \\ \hline</p>\\<p>29 & & & \\ \hline</p>\\<p>30 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \hline</p>\\<p>31 & & & \\ \hline<br>\\32 & & & \\ \hline</p>\\<p>33 & & & \\ \hline</p>\\<p>34 & & & \\ \hline</p>\\<p>35 & & & \\ \hline</p>\\<p>36 & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})} & \frac{\sqrt{5}+1}{4} & \\ \hline</p>\\<p>37 & & & \\ \hline</p>\\<p>38 & & & \\ \hline</p>\\<p>39 & & & \\ \hline</p>\\<p>40 & & & \\ \hline</p>\\<p>41 & & & \\ \hline<br>\\42 & & & \\ \hline</p>\\<p>43 & & & \\ \hline</p>\\<p>44 & & & \\ \hline</p>\\<p>45 & \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \\ \hline</p>\\<p>\hline\end{array}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.06.2016 - 07:32

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.06.2016 - 19:11

\sin\(9^{\circ}\)=\sin \(\frac{18^{\circ}}{2}\)

\fbox{\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos \left(x\right)}{2}}}

=\sin \(\frac{18^{\circ}}{2}\)=\sqrt{\frac{1-\cos \left(18^{\circ \:}\right)}{2}}

\cos \left(18^{\circ}\right)=\cos \left(\frac{36^{\circ}}{2}\right)

\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos \left(x\right)}{2}}

\cos \left(\frac{36^{\circ \:}}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos \left(36^{\circ \:}\right)}{2}}

 

\cos \left(36^{\circ \:}\right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}



\cos \left(18^{\circ \right)=\sqrt{\frac{1+\cos \left(36^{\circ \:}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{5}+1}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+5}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\left(5+\sqrt{5}\right)}

więc

\sin\(9^{\circ}\)=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\left(5+\sqrt{5}\right)}}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{\frac{1}{2}\left(5+\sqrt{5}\right)}

 

z jedynki trygonometrycznej otrzymamy odpowiednio sinusy i kosinusy odpowiednich kątów

 

sin(36^{\circ})=\sqrt{1-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}}=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})}

 

sin(18^{\circ})=\sqrt{1-\frac{\sqrt{5}+5}{8}}=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}}{4}=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}

 

cos(9^{\circ})=\sqrt{1-\frac{1}{4}\(2-\sqrt{\frac{1}{2}(5+\sqrt{5})}\)}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{2}(5+\sqrt{5})}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{\frac{1}{2}(5+\sqrt{5})}}}{2}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.06.2016 - 18:25

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.06.2016 - 21:17

(sin(27)+cos(27))^2=sin^2(27)+2sin(27)cos(27)+cos^2(27)

 

(sin(27)+cos(27))^2=1+sin(54)

 

(sin(27)+cos(27))^2=1+sin(90-36)

 

(sin(27)+cos(27))^2=1+cos(36)

 

(sin(27)+cos(27))^2=1+\frac{\sqrt{5}+1}{4}

 

(sin(27)+cos(27))^2=\frac{\sqrt{5}+5}{4}

 

czyli

 

sin(27)+cos(27)=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+5}}{2}

 

a teraz

 

(sin(27)-cos(27))^2=sin^2(27)-2sin(27)cos(27)+cos^2(27)

 

(sin(27)-cos(27))^2=1-sin(54)

 

(sin(27)-cos(27))^2=1-sin(90-36)

 

(sin(27)-cos(27))^2=1-cos(36)

 

(sin(27)-cos(27))^2=1-\frac{\sqrt{5}+1}{4}

 

(sin(27)-cos(27))^2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}

 

czyli

 

sin(27)-cos(27)=-\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}                                                        (minus bo sin(27)<cos(27)

 

zatem

 

(sin(27)+cos(27))+(sin(27)-cos(27))=2sin(27)=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+5}}{2}-\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}

 

czyli

 

sin(27)=\frac{1}{4}\(\sqrt{\sqrt{5}+5}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

 

oraz

 

(sin(27)+cos(27))-(sin(27)-cos(27))=2cos(27)=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+5}}{2}+\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}

 

cos(27)=\frac{1}{4}\(\sqrt{\sqrt{5}+5}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\)


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.06.2016 - 23:26

sin(15)

 

Sposób 1               \fbox{sin(A-B)=sin(A)cos(B)-cos(A)sin(B)}

 

sin(15)=sin(45-30)=sin(45)cos(30)-cos(45)sin(30)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

 

sposób 2               \fbox{sin(\frac{1}{2}A)=\sqrt{\frac{1-cos(A)}{2}}}

 

sin(15)=\sqrt{\frac{1-cos(30)}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}

 

Oba wyniki są tożsame bo

 

\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}

 

sposób 3

 

\(sin(\frac{A}{2})+cos(\frac{A}{2})\)^2=sin^2(\frac{A}{2})+2sin(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})=1+sin(A)                              więc                     sin(\frac{A}{2})+cos(\frac{A}{2})=\sqrt{1+sin(A)}

 

oraz

 

\(sin(\frac{A}{2})-cos(\frac{A}{2})\)^2=sin^2(\frac{A}{2})-2sin(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})=1+sin(A)                              więc                     sin(\frac{A}{2})-cos(\frac{A}{2})=\sqrt{1-sin(A)}

 

Dla       A=30      mamy

 

sin(15)+cos(15)=\sqrt{1+sin(30)}=\sqrt{\frac{3}{2}}

 

sin(15)-cos(15)=\sqrt{1-sin(30)}=-\sqrt{\frac{1}{2}}                   bo                cos(15)> sin(15)               

 

sin(15)+cos(15)+sin(15)-cos(15)=2sin(15)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}

 

więc           sin(15)=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.06.2016 - 18:02

Wprawdzie dla 18 stopni już były wykonane obliczenia, ale chciałem zaproponować coś innego, co może przydać się przy obliczaniu innych wartości

 

pre_1465592502__sin_18.jpg

sin(18)=\frac{x}{1}=x

 

Z podobieństwa trójkątów

 

\frac{1-2x}{2x}=\frac{2x}{1}

 

1-2x=4x^2

 

1-2x-4x^2=0                          stąd mamy                      x=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}                                                          x=\frac{\sqrt{5}-1}{4}

 

Pierwiastek z minusem nie spełania warunków zadania (nie może byś długością)

 

 

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 10.06.2016 - 22:08

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.06.2016 - 10:40

sin(3)=sin(18-15)=sin(18)cos(15)-sin(15)cos(18)

 

sin(18)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}                                    

 

cos(18)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\left(5+\sqrt{5}\right)}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}

 

sin(15)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}                            

 

cos(15)=\sqrt{1-\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)^2}=\sqrt{1-\frac{6-2\sqrt{12}+2}{16}}=\sqrt{\frac{16-6+2\sqrt{12}-2}{16}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{8}}=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{3}+1}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

 

sin(3)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{10+2\sqrt{5}})}{16}


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.06.2016 - 20:19

Jeżeli miara w stopniach jest podzielna przez 3 to da się policzyć z użyciem czterech działań i wyciągania pierwiastka

Implikacja w drugą stronę nie zachodzi


  • 1

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.06.2016 - 20:34

sin(75)=sin(45+30)=sin(45)cos(30)+cos(45)sin(30)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

 

albo

\sin (75)= \sin (90-15)=\cos(15) = \cos \(\frac{30}{2}\)=\sqrt{\frac{1+\cos(30)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

 

sin(72)=sin(2\cdot 36)=2\cdot sin(36)cos(36)=2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\left(5-\sqrt{5}\right)}\cdot \frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)=\frac{\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{5\left(5-\sqrt{5}\right)}{2}}}{4}

 

sin(72)=sin(90-18)=cos(18)=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}

 

sin(3)=sin(75-72)=sin(75)cos(72)-sin(72)cos(75)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{30}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{16}-\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sqrt{2\cdot \sqrt{5}+10}}{16}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.06.2016 - 23:08

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3410 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.06.2016 - 08:03

Ze wzoru na sinus kąta podwójnego

 

sin(6)=2sin(3)cos(3)

 

lub

 

sin(6)=sin(36-30)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską