Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Damian Klimek

Damian Klimek

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 139 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2016 - 16:44

Wykazać, że jeśli liczba p jest liczbą pierwszą, to liczba \sqrt{p} jest liczbą niewymierną.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.04.2016 - 08:20

Niech p będzie liczbą pierwszą (tzn. jeśli p jest dzielnikiem iloczynu a . b, to p dzieli co najmniej jeden z czynników - a lub b).

 

Dowód nie wprost:

 

Zakładamy, że x=\sqrt{p} jest  liczbą wymierną? Jeśli tak to możemy ją zapisać jako \frac{w}{q} ( z def liczby wymiernej)  x=\frac{w}{q}

(ułamek nieskracalny)
 

Podniesienie x do kwadratu daje nam p, zatem

 

\frac{w^2}{q^2}=p     czyli     w^2=p\cdot q^2

 

Co oznacza, że liczba w^2 dzieli się przez p, ale jest również iloczynem w\cdot w więc jeden z czynników (w albo w albo oba na raz - patrz wyżej ) musi się dzielić przez p. Niech zatem  w=k\cdot p. I teraz z powyższego mamy

 

(kp)^2=p\cdot q^2\\ p^2\cdot k^2= p\cdot q^2\\ p\cdot k^2=q^2

 

i okazuje się - na tej samej zasadzie, co w przypadku w - że q dzieli się przez p. To oznacza, że i licznik, i mianownik nieskracalnego ułamka \frac{w}{q} dzielą się przez p - czyli ułamek jest skracalny czyli mamy sprzeczność z założeniem a sprzeczność bierze się z założenia, że x można zapisać jako ułamek nieskracalny - czyli z założenia, że x jest liczbą wymierną.

 

Można na tej zasadzie dowodzić niewymierności \sqrt{2}, \sqrt{3} itd


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską