Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Lucynka

Lucynka

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 20.04.2016 - 18:09

Hej, 
czy pomoglibyście mi w dowodzie tej nierówności?

 

 

 

\sqrt{\sum^n_{k=1} (a^2_k + b^2_k )} \leq \sqrt{\sum^n_{k=1} a^2_k } + \sqrt{\sum^n_{k=1} b^2_k }

 

 


Z góry dziękuję :)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.04.2016 - 22:26

Podnieś obustronnie do kwadratu

 

\sqrt{\sum^n_{k=1} (a^2_k + b^2_k )} \leq \sqrt{\sum^n_{k=1} a^2_k } + \sqrt{\sum^n_{k=1} b^2_k }

 

\sum^n_{k=1} (a^2_k + b^2_k ) \leq \sum^n_{k=1} a^2_k + \sum^n_{k=1} b^2_k +2\sqrt{\sum^n_{k=1} a^2_k \cdot \sum^n_{k=1} b^2_k }

 

Dodawanie jest przemienne i łączne więc możemy przekształcić lewą stronę

 

\sum^n_{k=1} a^2_k + \sum^n_{k=1} b^2_k \leq \sum^n_{k=1} a^2_k + \sum^n_{k=1} b^2_k +2\sqrt{\sum^n_{k=1} a^2_k \cdot \sum^n_{k=1} b^2_k }

 

Odejmując dostaniesz

 

0 \leq 2\sqrt{\sum^n_{k=1} a^2_k \cdot \sum^n_{k=1} b^2_k }

 

Dalej to już wniosek z powyższego

 

 

A tak ma marginesie czy ta nierówność (Schwarza - Buniakowskiego) nie powinna mieć postaci:

 

\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)

 

- no chyba, że z plusami ma tą samą nazwę choć mi to przypomina nierówność Minkowskiego.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.04.2016 - 09:12

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską