Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Zbadaj różniczkowalność funkcji

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
7 odpowiedzi w tym temacie

#1 Logan_on

Logan_on

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.02.2016 - 20:22

Zbadaj rozniczkowalnosc funkcji f w pkt. x0=0 jesli: 

 

        {sinx dla x >= 0

f(x)= {x3    dla x <0

         

 

podaj interpretacje geometryczna. Z góry dziekuje za odp.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 14.02.2016 - 21:55

\bl f(x)=\{\sin x\ \ \ dla\ \ x\geq0\\x^3\ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x<0

 

\{a=\lim_{x\to0_-}f'(x)=\lim_{x\to0_-}3x^2=3\cd0^2=0\\b=\lim_{x\to0_+}f'(x)=\lim_{x\to0_+}\cos x=\cos0=1\gr\ \Rightarrow\ a\neq b\gr\ \Rightarrow\  w  x=0  funkcja nie jest różniczkowalna

 

z lewej strony wykres do zera dochodzi poziomo a z prawej strony pod kątem   arctg1=45^{\circ}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Logan_on

Logan_on

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.02.2016 - 12:23

Jakby mogła mi Pani przybliżyć jak wyliczyć kąt i dlaczego arctg, a nie tg. W skryptach podają tg.


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.02.2016 - 13:48

W skryptach masz zapewne tg(\alpha)=a   a chcąc się dowiedzieć jaki jest kąt należy zastosować arctg - bo szukasz kąta a nie wartosci.

 

A co do techniki szukania to właściwie masz podane wyżej

 

tg(\alpha)=0 stąd \alpha=0

tg(\alpha)=1 stąd \alpha=45^{\circ}


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.02.2016 - 15:57

Przystępując do badania różniczkowalności funkcji musimy najpierw sprawdzić, czy jest ona ciągła.

 

Jeśli funkcja ma punkty nieciągłości, to na pewno nie jest w nich różniczkowalna.

 

 \lim_{x\to 0^{-}} f(x) = \lim_{x\to 0^{-}} x^3 = 0,

 

 \lim_{x\to 0^{+}} f(x)= \lim_{x\to 0^{+}} \sin(x) =0,

 

 f(0) = 0^3 = \sin(0)=0..

 

Mamy więc funkcję ciągłą na całym zbiorze  R.

 

 x< 0

 

 \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^3 -x^3}{h} = \frac{x^3 +3x62h + 3xh^2 + h^3- x^3}{h} = 3x^2 +3x^2h +3xh^2 +h^3 \rightarrow 3x^2. \ \ h\rightarrow 0.

 

Wynik, który otrzymaliśmy , nie tylko dowodzi różniczkowalności  funkcji  x^3 ale daje nam wzór na jej pochodną  (x^3)' =3x^2.

 

 x> 0

 

 \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{ 2\sin(h/2)}{h/2}( \cos(x +h/2) = \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cos(x+h/2) \ \ h\rightarrow 1\cdot \cos(x)= cos(x). 

 

 

Powyższy rachunek stanowi dowód, że funkcja  sin(x) jest różniczkowalna poza  0 i   (sin(x))'=cos(x).

 

x =0

 

W tym przypadku iloraz różnicowy ma dwojaką postać w zależności od tego czy  h jest dodatnie czy ujemne

 

 \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \begin{cases} \frac{h^3 -0}{h} \ \ \mbox{dla} \ \ h<0 \\ \frac{sin(h)-0}{h} \ \ \mbox{dla} \ \ h >0 .\end{cases}

 

W pierwszym przypadku  granica jest  równa  0 w drugim przypadku  1 , gdy  h \rightarrow 0.

 

W ten sposób zbadaliśmy wszystkie przypadki - funkcja nie jest różniczkowalna w zerze.


Użytkownik janusz edytował ten post 15.02.2016 - 19:41

  • 1

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.02.2016 - 16:35

jak wyliczyć kąt i dlaczego arctg, a nie tg

 

a=0 oznacza, że tangens kąta nachylenia stycznej do funkcji w x=0 równa się 0 \gr\ \Rightarrow\  \angle=0

 

b=1 oznacza, że tangens kąta nachylenia stycznej do funkcji w x=0 równa się 1 \gr\ \Rightarrow\  \angle=45^{\circ}

 

zapis  arctg1 oznacza kąt (arcus), którego tangens = 1   \gr\ \Rightarrow\  arctg1=45^{\circ}\ bo\ tg45^{\circ}=1  

 

 

 

 x> 0

 

 \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{ 2\sin(h/2) \cos(x +h/2)}{h} = [ \frac{0\cdot \cos(x)}{0}], \ \ h\rightarrow 0. - nie istnieje

 

 

Powyższy rachunek stanowi dowód, że funkcja  sin(x) jest różniczkowalna poza  0

 

\lim_{h\to0}\fr{2\sin\fr h2\cos\(x+\fr h2\)}{h}=\lim_{h\to0}\fr{\sin\fr h2}{\fr h2}\cd\lim_{h\to0}\cos\(x+\fr h2\)=1\cd\cos x=\cos x

 

wniosek - funkcja sinus jest różniczkowalna nawet w 0, gdyż pochodna dla x=0  istnieje i równa jest  \cos0=1

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#7 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.02.2016 - 18:42

W przypadku   x=0  funkcja  f nie jest różniczkowalna bo granicę istnieją ale są różne.


Użytkownik janusz edytował ten post 15.02.2016 - 18:46

  • 1

#8 Logan_on

Logan_on

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2016 - 04:43

Dziękuje za wyjaśnienie.


  • 0





Tematy podobne do: Zbadaj różniczkowalność funkcji     x