Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Montes

Montes

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 48 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.02.2016 - 20:38

Udowodnij, że dla a > b > 0 zachodzi nierówność:

 

a + \frac{1}{b(a-b)} \geq3


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2016 - 02:28

Z nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną mamy

 

b(a-b) \ \le \ \left( \frac{a}{2} \right)^2

 

A stąd

 

a + \frac{1}{b(a-b)} \ \ge \ a + \frac{4}{a^2}

 

Pozostaje więc wykazać, że

 

a + \frac{4}{a^2} \ \ge \ 3

 

A to zaś jest równoważne nierówności

 

a^3 - 3a^2 + 4 \ \ge \ 0

 

Czyli

 

(a+1)(a-2)^2 \ \ge \ 0

 

No to załatwione. Widać też że równość mamy jedynie dla (a,b)=(2,1) :)


  • 2





Tematy podobne do: Nierówność     x