Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

dowód dla kątów w trójkącie

Trygonometria płaska

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Montes

Montes

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 50 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.01.2016 - 20:13

\alpha \beta \gamma to kąty w trójkącie.

Zakładamy, że prawdziwa jest nierówność :
cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta) > sin^2(\alpha + \beta)

Pokaż, że \gamma > 90^{\circ} (cos(\gamma) < 0)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.01.2016 - 22:31

\bl\{\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\\\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)>\sin^2(\alpha+\beta)\bl\ \Rightarrow\ \bl\gamma>90^{\circ}

 

to nie jest prawdą

 

weźmy  \{\alpha+\beta=150^{\circ}\\\alpha-\beta=110^{\circ}\gr\ \Rightarrow\ \{\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)\approx0,2962\\\sin^2(\alpha+\beta)=0,25                            a     \gamma=30^{\circ}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
edit
Montes, wyraziłeś się jasno. To ja miałam zaćmienie logiki. 

Użytkownik bb314 edytował ten post 04.03.2016 - 20:34

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Montes

Montes

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 50 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2016 - 00:12

Po pierwsze, drobny błąd mi sie wkradł, powinno być

cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta) > 1 - sin^2(\alpha + \beta)   (1)

A po drugie, to może się nie jasno wyraziłem.

To jest naszym założeniem:

cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta) > 1 - sin^2(\alpha + \beta)

I jeżeli to jest prawdziwe to \gamma > 90^{\circ}   (2)

Więc podanie przykładu dla którego (1) jest nieprawdą \Rightarrow (2) jest nieprawdą nie rozwiązuję mojego problemu :) .

Mam nadzieję, że teraz się jaśniej wyraziłem.


Użytkownik Montes edytował ten post 16.01.2016 - 09:42

  • 1

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2016 - 00:46

cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta) > 1 - sin^2(\alpha + \beta)

 

cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta)>cos^2(\alpha +\beta)              z jedynki

 

a z

 

\fbox{\cos x \cdot \cos y = \frac{\cos (x - y) + \cos (x + y)}{2}}

 

\frac{cos(2\beta)+cos(2\alpha)}{2}>cos^2(\alpha +\beta)

 

\fbox{cos(2x)=2cos^2(x)-1}

 

\frac{2cos^2(\beta)-1+2cos^2(\alpha)-1}{2}>cos^2(\alpha +\beta)

 

\frac{2(cos^2(\beta)+cos^2(\alpha)-1)}{2}>cos^2(\alpha +\beta)

 

cos^2(\beta)+cos^2(\alpha)-1>cos^2(\alpha +\beta)

 

\fbox{cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}}

 

cos^2(\beta)+cos^2(\alpha)-1>\frac{1+cos(2(\alpha+\beta))}{2}

 

cos^2(\beta)+cos^2(\alpha)-1>\frac{1+2cos^2(\alpha+\beta)-1}{2}

 

Chyba nie tędy droga - czas wziąć długopis :)

Może do tego się wrócę \re cos^2(\beta)+cos^2(\alpha)-1>cos^2(\alpha +\beta)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 16.01.2016 - 14:18

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Montes

Montes

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 50 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2016 - 13:20

ok, udało się 

cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta) > cos^2(\alpha + \beta)

cos(\alpha + \beta)*cos(\alpha - \beta) - cos^2(\alpha + \beta) > 0

 

cos(\alpha + \beta)(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)) > 0

 

cos(\alpha + \beta)(2*sin(\alpha)*sin(\beta)) > 0

 

cos(\alpha + \beta)(sin(\alpha)*sin(\beta)) > 0

 

(sin(\alpha) > 0 \wedge sin(\beta) > 0) \Rightarrow (sin(\alpha)*sin(\beta)) > 0 \Rightarrow cos(\alpha + \beta) > 0

 

cos(\alpha + \beta) = cos(\pi - \gamma) = -cos(\gamma)

 

-cos(\gamma) > 0

 

cos(\gamma) < 0 \Rightarrow \gamma > 90^{\circ}


Użytkownik Montes edytował ten post 16.01.2016 - 18:45

  • 0