Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Kąty trójkąta prostokątnego

Trygonometria płaska

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 17.12.2015 - 09:46

Wykaż, że trójkąt jest prostokątny, jeżeli jego kąty spełniają warunek
\sin \alpha ( \cos \beta + \cos \gamma ) = \sin \beta + \sin \gamma
 

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.12.2015 - 14:26

Przy standardowych oznaczeniach w trójkącie mamy

 

\sin \alpha = \frac{a}{2R}

 

oraz, co jest trochę mniej oczywiste

 

\cos \alpha = -1 - \frac{a(a-p)}{2Rr}

 

Po podstawieniu i uproszczeniu, podana równość przybiera postać

 

-2a -a\frac{b^2+c^2-p(b+c)}{2Rr}=b+c

 

Ale przecież 2Rr=\frac{abc}{2p}, więc możemy napisać

 

-2a - \frac{2p}{bc}(b^2+c^2-p(b+c))=b+c

 

co po uproszczeniu daje

 

-abc -\frac{bc(b+c)}{2} = p(b^2+c^2)-p^2(b+c)

 

No i tu niestety nadchodzi ten długo odwlekany moment, gdzie trzeba trochę porachować, czyli podstawiamy p=\frac{a+b+c}{2}, wymnażamy i redukujemy do

 

(b+c)(b^2+c^2-a^2)=0

 

No więc musi być a^2=b^2+c^2 i trójkąt jest prostokątny na mocy tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa. :)


  • 2

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3987 postów
4735
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.12.2015 - 13:02

\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\gr\ \Rightarrow\ \alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma)\gr\ \Rightarrow\ \sin\alpha=\sin\(180^{\circ}-(\beta+\gamma)\)=\sin(\beta+\gamma)
 
\bl\fbox{\ \ \sin(\beta+\gamma)=2\sin\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta+\gamma}{2}\ \ \ }
 
 \bl\fbox{\ \cos\beta+\cos\gamma=2\cos\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta-\gamma}{2}\ }
 
\bl\fbox{\ \sin\beta+\sin\gamma=2\sin\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta-\gamma}{2}\ }
 
powyższe podstawię do równania wyjściowego
2\sin\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta+\gamma}{2}\cd2\cos\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta-\gamma}{2}=2\sin\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta-\gamma}{2}\ /:4\sin\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta-\gamma}{2}
 
\cos^2\fr{\beta+\gamma}{2}=\fr12\gr\ \Rightarrow\ \cos\fr{\beta+\gamma}{2}=\fr{\sq2}{2}\gr\ \Rightarrow\ \fr{\beta+\gamma}{2}=45^{\circ}\gr\ \Rightarrow\ \beta+\gamma=90^{\circ}\gr\ \Rightarrow\ \re\alpha=90^{\circ}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3465 postów
3055
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.12.2015 - 15:41

Ciekawy ten pierwszy wzór

 

 

\bl\fbox{\ \ \sin(\beta+\gamma)=2\sin\fr{\beta+\gamma}{2}\cos\fr{\beta+\gamma}{2}\ \ \ }

 

zawsze uzywam

 

sin(\beta+\gamma)=sin(\beta)cos(\gamma)+sin(\gamma)cos(\beta)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Kąty trójkąta prostokątnego     x