Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Dowieść, że:

indukcja matematyczna logika

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Damian Klimek

Damian Klimek

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 174 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2015 - 21:51

Indukcja matematyczna.

Dowiedz, że:

7^n-1 jest podzielne przez 6 dla n = 1, 2, . . .

 

Pomożecie?

 

wiem, że mam napisać zamiast n k+1, ale co dalej ?

 

7^k^+^1-1


Użytkownik Damian Klimek edytował ten post 21.11.2015 - 21:51

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2015 - 01:01

1^{\circ}

Sprawdzasz czy zachodzi podzielność dla n=1

 

7^1-1=6            a           6 jest podzielne przez 6 :)

 

2^{\circ}

Zakładasz, że zachodzi podzielność dla pewnego k czyli zachodzi 7^k-1=6w,       gdzie         w\in \mathbb{N}

 

i sprawdzasz czy zachodzi dla k+1

 

7^{k+1}-1=7^k\cdot 7-1=7^k\cdot (6+1)-1=7^k\cdot 6+7^k-1 co własciwie kończy dowód bo

 

7^k\cdot 6 jest podzielne przez 6 z definicji   a

 

7^k-1 jest podzielne przez 6 z założenia

 

A suma liczb podzielnych przez daną liczbę jest także podzielna przez tą liczbę

 

Ewentualnie możesz zapisać

 

7^k\cdot 6=6v

 

czyli masz

 

7^k\cdot 6+7^k-1=6v+6w=6(v+w)

 

choć to zbędne


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.11.2015 - 01:05

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Damian Klimek

Damian Klimek

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 174 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2015 - 11:41

na zajęciach miałem rozpisane to tak:

n=1 6:6 to prawda

</p>\\<p>w(n)\Rightarrow w(n+1)</p>\\<p>w(n+1)= 6:7^n^+^1-1</p>\\<p></p>\\<p>6k=7^n^+^1-1</p>\\<p>7^n=6k+1</p>\\<p></p>\\<p>6|7*7^n-1</p>\\<p>6|7(6k+1)-1</p>\\<p>6|7(6k+1)-6</p>\\<p>

 

Przepisałem dokładnie tak jak miałem w zeszycie i nie potrafię tego zrozumieć.


Użytkownik Damian Klimek edytował ten post 22.11.2015 - 11:41

  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2015 - 12:34

Naucz się zapisywać wykładnik dłuższy niż jedna liczba 7^{n+1}   w nawiasie wąsatym powinno być

 

A co do wywodu...

 

żeby to było ok powinno być:

...

 

6k=7^{n+1}-1

7^{n+1}=6k+1          bo przenosisz 1                z założenia masz \bl{7^n=6w+1}

 

6|7\cdot 7^n-1     tu masz rozpisane 7^{n+1}=7^n\cdot 7     

 

6|7(6w+1)-1 teraz korzystasz z niebieskiego i podstawiasz

 

Po obliczeniu masz

 

6|7\cdot 6w+6

 

6|6(7w+1) czyli zachodzi podzielność


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.11.2015 - 12:41

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską