Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Dlaczego ta odpowiedz do tego rownania?

Równania i nierówności Układy równań

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Miki150

Miki150

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 08.11.2015 - 21:33

Mam zadanie z odpowiedzią ale nie rozumiem skąd się wzieła.

 

Udowodnij, ze x^4 + y^4 + z^4 + w^4 \geq 4xyzw

 

Odpowiedz to:

 

  x^4 +y^4 \geq 2x^2y^2<br><br>\\+<br><br>\\z^4 + w^4 \geq 2z^2w^2<br><br>\\=<br><br>\\x^4 +y^4 + z^4 + w^4 \geq 2x^2y^2 + 2z^2w^2<br><br>\\x^4 +y^4 + z^4 + w^4 \geq 2(xy)^2 + 2(zw)^2<br><br>\\x^4 +y^4 + z^4 + w^4 \geq 2((xy)^2 + (zw)^2)<br><br><br>\\((xy)^2 + (zw)^2) \geq 2xyzw<br><br>\\2((xy)^2 + (zw)^2) \geq 4xyzw

 

Wiec:

x^4 +y^4 + z^4 + w^4 \geq 4xyzw


Użytkownik Miki150 edytował ten post 08.11.2015 - 21:40

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.11.2015 - 23:47

Ja bym jeszcze na początku udowodnił, że

 

x^4+y^4\geq 2x^2y^2

 

 

Jak już napiszesz obie nierówności x^4+y^4\geq 2x^2y^2              z^4+w^4\geq 2z^2w^2                i je dodasz stronami dostaniesz

 

x^4+y^4+z^4+w^4\geq 2x^2y^2+2z^2w^2                masz trzecią linijkę

 

W czwartej korzystasz ze wzoru \re{(a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c}

 

w piątej wyciągasz 2 jako wspólny czynnik

 

Szósta linijka jest nieco z boku to jest nie odnosi się bezpośrednio do napisanych powyżej -  korzystasz z tego samego czego użyłem w moim rozwinięciu - czyli ze wzoru skróconego mnożenia

 

\gr{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}       więc   (xy-zw)^2= (xy)^2-2xyzw+(zw)^2      kwadrat jest zawsze liczbą nieujemną czyli     (xy)^2 -2xyzw+(zw)^2\geq 0

 

czyli jak przeniesiesz na drugą stronę to dostaniesz

 

(xy)^2+(zw)^2\geq 2xyzw    czyli masz szóstą linijkę

 

Siódma linijka to pomnożenie przez 2 linijki szóstej

 

2((xy)^2+(zw)^2)\geq 4xyzw

 

Teraz jeśli popatrzysz na linijkę piątą i siódmą dostaniesz

 

x^4+y^4+z^4+w^4\geq 2((xy)^2+(zw)^2)     ale    2((xy)^2+(zw)^2)\geq 4xyzw    więc razem masz

 

x^4+y^4+z^4+w^4\geq 4xyzw    

 

KONIEC

 

 

 

 

 

Mam nadzieję, że teraz jasniej


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.11.2015 - 03:21

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.11.2015 - 23:52

..., zauważ, że 1-sza i 2-ga nierówność analogicznie to nic innego jak :  :

 (x^2-y^2)^2 \ge 0  \ \bl \Leftrightarrow\  x^4+y^4-2x^2y^2\ge0 \bl \Leftrightarrow\  x^4+y^4\ge2x^2y^2

także 3-y ostanie nierówności to nierówność typu (a-b)^2 \ge0   \ \bl \Leftrightarrow\  a^2+b^2 \ge 2ab. ... ;)


  • 1

#4 Miki150

Miki150

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 09.11.2015 - 00:59

Pięknie! Wielkie dzięki!


Ja bym jeszcze na początku udowodnił, że

 

x^4+y^4\geq 2x^2y^2

 

 

Jak już napiszesz obie nierówności x^4+y^4\geq 2x^2y^2              z^4+w^4\geq 2z^2w^2                i je dodasz stronami dostaniesz

 

x^4+y^4+z^4+w^4\geq 2x^2y^2+2z^2w^2                masz trzecią linijkę

 

W czwartej korzystasz ze wzoru \re{(a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c}

 

w piątej wyciągasz 2 jako wspólny czynnik

 

Szósta linijka jest nieco z boku to jest nie odnosi się bezpośrednio do napisanych powyżej -  korzystasz z tego samego czego użyłem w moim rozwinięciu - czyli ze wzoru skróconego mnożenia

 

\gr{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}       więc   (xy-zw)^2= (xy)^2-2xyzw+(zw)^2      kwadrat jest zawsze liczbą nieujemną czyli     (xy)^2 +2xyzw+(zw)^2\geq 0

 

czyli jak przeniesiesz na drugą stronę to dostaniesz

 

(xy)^2+(zw)^2\geq 2xyzw    czyli masz szóstą linijkę

 

Siódma linijka to pomnożenie przez 2 linijki szóstej

 

2((xy)^2+(zw)^2)\geq 4xyzw

 

Teraz jeśli popatrzysz na linijkę piątą i siódmą dostaniesz

 

x^4+y^4+z^4+w^4\geq 2((xy)^2+(zw)^2)     ale    2((xy)^2+(zw)^2)\geq 4xyzw    więc razem masz

 

x^4+y^4+z^4+w^4\geq 4xyzw    

 

KONIEC

 

 

 

 

 

Mam nadzieję, że teraz jasniej

 

Chcialam sie jeszcze spytac, skad wiedziales zeby uzyc (a-b)^2 a nie (a+b)^2, wtedy (xy)^2 + (zw)^2 \geq -2xyzw rozumiem, ze trzeba bo (xy- zw)^2, ale dlaczego nie (xy+zw)^2?


Użytkownik Miki150 edytował ten post 09.11.2015 - 01:02

  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.11.2015 - 03:33

No właśnie dlatego żeby po przeniesieniu mieć liczbę dodatnią :)                

 

Możesz to tłumaczyć pewnego rodzaju doświadczeniem - na studiach robisz bardzo bardzo dużo dowodów. Te wykorzystujące wzory skróconego mnożenia są tymi prostszymi :)

 

 

A na dobrą sprawę (xy)^2+(zw)^2\geq -2xyzw  też jest prawdą :)


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską