Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

zbadaj zbieżność szeregu

Ciągi wektorowe i liczbowe Szeregi

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 Damian Klimek

Damian Klimek

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 174 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.10.2015 - 22:44

z tw. d'alemberta

 

\sum\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}

 

rozpisałem to sobie, podstawiłem za n         n+1 i stoję w miejscu


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2015 - 09:40

q=\frac{3}{4}<1 szereg zbieżny


  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2015 - 15:37

a_n=\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}

 

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2\cdot 2^n+3\cdot 3^n}{3\cdot3^n+4\cdot 4^n}\cdot \frac{3^n+4^n}{2^n+3^n}

 

i mnożysz co się da

 

\frac{2\cdot 2^n+3\cdot 3^n}{3\cdot3^n+4\cdot 4^n}\cdot \frac{3^n+4^n}{2^n+3^n}=\frac{2\cdot (6^n+8^n)+3\cdot (9^n+12^n)}{3\cdot (6^n+9^n)+4\cdot (8^n+12^n)}

 

teraz tak 6^n=2^n\cdot 3^n itd i jak wymnożysz przez liczby przed nawiasem to dostaniesz

 

=\frac{2^{n+1}(3^n+4^n)+3^{n+1}(3^n+4^n)}{3^{n+1}(2^n+3^n)+4^{n+1}(2^n+3^n)}=\frac{(2^{n+1}+3^{n+1})(3^n+4^n)}{(3^{n+1}+4^{n+1})(2^n+3^n)}

 

i teraz liczysz granicę

 

\lim_{n\to \infty} \frac{(2^{n+1}+3^{n+1})(3^n+4^n)}{(3^{n+1}+4^{n+1})(2^n+3^n)} wynik to  \frac{3}{4} czyli wg kryterium d'Alemberta szereg jest zbieżny.

 

Obliczenie granicy chyba nie będzie trudne ale jeśli to pisz.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.11.2015 - 20:28

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2015 - 19:41

W praktyce ten szereg raczej badamy kryterium porównawczym 

 

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+3^{n}}{3^{n}+4^{n}}< \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot 3^{n}}{4^{n}}= 2\sum_{n=1}^{\infty}\(\frac{3}{4}\)^{n},

 

szereg geometryczny zbieżny, więc badany szereg jest zbieżny.


Użytkownik janusz edytował ten post 01.11.2015 - 19:41

  • 0

#5 Damian Klimek

Damian Klimek

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 174 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2015 - 20:50

szczerze mówiąc to ja nawet nie potrafię zrozumieć jak to jest pomnożone


  • 0

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2015 - 23:00

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2\cdot 2^n+3\cdot 3^n}{3\cdot3^n+4\cdot 4^n}\cdot \frac{3^n+4^n}{2^n+3^n}

 

każde przez pomnozone

 

licznik (2\cdot 2^n+3\cdot 3^n)(3^n+4^n)=2\cdot 2^n\cdot 3^n+2\cdot 2^n\cdot 4^n+3\cdot 3^n\cdot 3^n+3\cdot 3^n\cdot 4^n

 

\fbox{\bl{a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n}}
 

=2\cdot 6^n+2\cdot 8^n+3\cdot 9^n+3\cdot 12^n

 

wyciągasz wspólne czynniki 2 i 3

 

=2(6^n+8^n)+3(9^n+12^n)

 

na podstawie powyższej zasady      6^n=2^n\cdot 3^n         8^n=2^n\cdot 4^n         9^n=3^n\cdot 3^n        12^n=3^n\cdot 4^n

 

=2(2^n\cdot 3^n+2^n\cdot 4^n)+3(3^n\cdot 3^n+3^n\cdot 4^n)=2^{n+1}\cdot 3^n+2^{n+1}\cdot 4^n+3^{n+1}\cdot 3^n+3^{n+1}\cdot 4^n

 

i znowu wspólny czynnik

 

=2^{n+1}(3^n+4^n)+3^{n+1}(3^n+4^n)=(3^n+4^n)(2^{n+1}+3^{n+1})

 

to samo zrób dla mianownika


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2015 - 10:21


licznik (2\cdot 2^n+3\cdot 3^n)(3^n+4^n)=2\cdot 2^n\cdot 3^n+2\cdot 2^n\cdot 4^n+3\cdot 3^n\cdot 3^n+3\cdot 3^n\cdot 4^n

 

\fbox{\bl{a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n}}
 

=2\cdot 6^n+2\cdot 8^n+3\cdot 9^n+3\cdot 12^n

 

wyciągasz wspólne czynniki 2 i 3

 

=2(6^n+8^n)+3(9^n+12^n)

 

na podstawie powyższej zasady      6^n=2^n\cdot 3^n         8^n=2^n\cdot 4^n         9^n=3^n\cdot 3^n        12^n=3^n\cdot 4^n

 

=2(2^n\cdot 3^n+2^n\cdot 4^n)+3(3^n\cdot 3^n+3^n\cdot 4^n)=2^{n+1}\cdot 3^n+2^{n+1}\cdot 4^n+3^{n+1}\cdot 3^n+3^{n+1}\cdot 4^n

 

i znowu wspólny czynnik

 

=2^{n+1}(3^n+4^n)+3^{n+1}(3^n+4^n)=(3^n+4^n)(2^{n+1}+3^{n+1})

 

Jarek, po pierwszym poście myślałem, że może trollujesz, ale po drugim widzę, że nie, więc trochę ułatwię Ci życie :)

 

Otóż 2\cdot 2^n=2^{n+1} oraz 3\cdot 3^n= 3^{n+1}, więc (2\cdot 2^n+3\cdot 3^n)(3^n+4^n)=(3^n+4^n)(2^{n+1}+3^{n+1})


  • 1

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2015 - 13:16

:dribble: No co ty ????

 

Rozpisałem mnożenie w drugim zgodnie z tym co napisałem w pierwszym mym poście. Oczywiście korzystając od razu z własności  \fbox{\re{a^n\cdot a^k=a^{n+k}}} jest znacznie znacznie szybciej ale nie tak urokliwie.

 

Po za tym tym sposobem poćwiczy działania na potęgach ;)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.11.2015 - 13:17

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#9 Damian Klimek

Damian Klimek

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 174 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2015 - 18:47

6^n = 2^n\cdot3^2
teraz tak itd i jak wymnożysz przez liczby przed nawiasem to dostaniesz

tam ma być 3^n prawda? bo w sumie to mnie najbardziej zmyliło


Użytkownik Damian Klimek edytował ten post 02.11.2015 - 18:52

  • 0

#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2015 - 20:29

Tak zgadza się ma być 6^n=3^n\cdot 2^n


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: zbadaj zbieżność szeregu     x