Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Równania z silną

Równania i nierówności Układy równań

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 CheshieCat

CheshieCat

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2015 - 14:31

Zadanie
Uzasadnij, że poniższą nierówność spełniają wszystkie liczby naturalne większe od 1.

[(n+1)!(n-1)!]/(n!)^2 < n

 

Potrafię rozwiązywać podobne równania z silnią, ale z tym
mam problem. Chyba nie do końca rozumiem mechanizm rozbicia np. (n+1)! na 
składowe.

Witajcie, jestem nowy na tym forum. Czy ktoś może mi udzielić jakichś wskazówek?

 

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2015 - 15:49

\frac{(n+1)!(n-1)!}{(n!)^2}<n

 

(n+1)!=n!\cdot (n+1)

 

(n-1)!=\frac{n!}{n}

 

więc

 

\frac{n!(n+1)\cdot n!}{(n!)^2\cdot n}<n

 

\frac{n+1}{n}<n

 

n+1<n^2

 

-n^2+n+1<0

 

Delta i dalej już myślę dasz radę to wykazać


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 CheshieCat

CheshieCat

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2015 - 16:16

Tak, dalej już dam radę. Dzięki, rzuciłeś promyczek światła na mój problem. :D

 

EDIT. 

 

Wyobrażam sobie, jak zamieniłeś (n+1)! na n!*(n+1), bo sam doszedłem do
podobnych wniosków. 

Ale na jakiej zasadzie przeprowadziłeś tę drugą zamianę? "(n-1)! = n!/n"

 

No i drugi edit. 

\Delta = 1^2 - 4\cdot (-1)\cdot1 

 

\sqrt{\Delta} =\sqrt{5}

 

I w takim wypadku:

n_1 =\frac{-1-\sqrt{5}}{-2}

 

n_2 =\frac{-1+\sqrt{5}}{-2}

 

Zatem x\in\(-\infty;\frac{-1+\sqrt{5}}{-2}\)\vee \(\frac{1-\sqrt{5}}{-2},\infty\)

Tylko, że jakoś nie pasuje do treści zadania. Co poszło nie tak?

 

 

Plus pytanie co do obsługi edytora. Dlaczego kod nie zmienia się w symbole?


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.09.2015 - 19:33
Poprawiłem minusy i zapis

  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2015 - 16:57

Zacznę od kodu

 

2^2 pojawi się tak        2^2         jeśli napiszesz ro tak:  [TeXw]2^2[/TeXw] (bez litery w) albo (prościej) zaznacz wzór i naciśnij przycisk TeX (środkowy wiersz w menu powyżej) inne przydatne są tu

 

Rozwiązanie

 

Wszystko poszło ok - takie właśnie jest rozwiązanie (no minusa w mianowniku zapomniałeś) \frac{-1-\sqrt{5}}{-2} jest mniejsze niż 2 więc wszystko jest spełnione dla n większych od 1 (musisz oszacować pierwiastek) po prostu

 

Przekształcenie

 

n!= 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ... (n-2)\cdot (n-1)\cdot n           prawda

 

wiec

 

\frac{n!}{n}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ... (n-2)\cdot (n-1) = (n-1)!


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.09.2015 - 19:34

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2015 - 22:15

... , mogłeś też zamieniać po prostu mianownik tak:  (n!)^2= n!\cd n!= n!\cd (n-1)!\cd n  i skracacć co trzeba . ... ;)


  • 0