Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka wymierna 1/cos^4(x)

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 949 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.09.2015 - 10:47

\int\frac{1}{cos^4(x)}dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 11:04

*
Najwyższa ocena

\int\frac{1}{cos^4(x)}dx

 

\frac{1}{cos(x)}=sec(x) odwrotność cosinusa

 

i masz taki wzór

 

\int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx

 

jak zastosujesz dostaniesz

 

\int \sec ^4\left(x\right)dx=\frac{\sec ^3\left(x\right)\sin \left(x\right)}{3}+\frac{2}{3}\int \sec ^2\left(x\right)dx=\frac{2tg \left(x\right)}{3}+\frac{tg \left(x\right)\sec ^2\left(x\right)}{3}+C=\frac{2tg \left(x\right)}{3}+\frac{1}{3}tg \left(x\right)\cdot \frac{1}{cos^2\left(x\right)}+C

 

popatrz na http://matma4u.pl/to...67-całka-1cosx/

 

Można też wzorami trygonometrycznymi


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 949 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.09.2015 - 11:09

jakos omijam z daleka to przekształcenie z sec... nie bralismy tego wiec jakos nie moge go przełknąc ;(


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 11:19

*
Najwyższa ocena

Rozumiem, że nie uzywa się tego w szkole ale to tylko oznaczenie dla funkcji odwrornej do kosinusa. Ułatwa zapis bo nie tworzą się ułamki łańcuchowe. Mam nadzieję, że sie do  przekonasz.

 

zamiast             sec(x) pisz            \frac{1}{cos(x)}            

 

a zamiast            sec^3(x) pisz   \frac{1}{cos^3(x)}

 

trochę to utrudni zapis ale wszyskie wzory są identyczne

 

\int \frac{1}{cos^n(x)}dx=\frac{\frac{1}{cos^{n-1}(x)}\cdot \sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{1}{cos^{n-1}(x)}dx

 

Możesz też pobawić się wzorami trygonometrycznymi jak to zrobiłem w podanym poście.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.09.2015 - 11:21

  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3035 postów
1407
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 14:14

 \int\frac{1}{\cos^4(x)}dx = \int \frac{1}{\cos^2(x)}d(tg(x)) = \int (tg^2(x)+1)d(tg(x))= \frac{1}{3}tg^3(x) +tg(x) +C, \ \ x\neq k\frac{\pi}{2}, \ \ k\in Z.


Użytkownik janusz edytował ten post 22.09.2015 - 14:59

  • 1

#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 18:18

Korzystasz z jedynki trygonometrycznej w liczniku i całkując przez części wyprowadzasz wzór redukcyjny

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n}{x}}}=\int{\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{n}{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n}{x}}}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n-2}{x}}}+\int{\sin{x}\cdot\frac{\sin{x}}{\cos^{n}{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n}{x}}}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n-2}{x}}}+\frac{1}{n-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{n-1}{x}}-\frac{1}{n-1}\int{\frac{\cos{x}}{\cos^{n-1}{x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n}{x}}}=\frac{1}{n-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{n-1}{x}}+\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{n-2}{x}}}\\</p>\\<p>I_{n}=\frac{1}{n-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{n-1}{x}}+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\\</p>\\<p>

 

Gdybyśmy chcieli zapisać to z użyciem secansów i tangensów to byśmy otrzymali

 

I_{n}=\frac{1}{n-1}\sec^{n-2}{x}\tan{x}+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}

 

Podstawienie zaprezentowane przez janusza działa dla parzystych potęg

Dla nieparzystych potęg podobne podstawienie prowadzi do rozkładu na sumę ułamków prostych

 

 

 

 

funkcji odwrornej do kosinusa

 

To stwierdzenie może być trochę mylące


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 22.09.2015 - 18:39

  • 2

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 20:38

 

To stwierdzenie może być trochę mylące

 

No tak to nie to samo co f^{-1}(x)

 

Więc może tak jest to odwrotność kosinusa czyli stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego. Czytamy sekans

 

A coś więcej na ten temat https://pl.wikipedia...rygonometryczne


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.09.2015 - 20:38

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską