Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka wymierna z cos^2

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
13 odpowiedzi w tym temacie

#1 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.09.2015 - 17:10

\int \frac{1}{cos^2(3x)-1}dx


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.09.2015 - 22:51

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2015 - 18:28

Jedynka trygonometryczna w mianowniku


  • 0

#3 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.09.2015 - 19:46

nie wychodzi


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2015 - 20:01

nie wychodzi

 

To znaczy co Ci nie wychodzi?


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.09.2015 - 20:33

Zrobiłam tak:

\int\frac{1}{cos^2(3x)-cos^2(3x)-sin^2(3x)}dx=\int\frac{1}{-sin^2(3x)}dx=-\int dx-\int tg^2(3x)dx


Użytkownik kate84 edytował ten post 21.09.2015 - 20:34

  • 0

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2015 - 20:55

\int \frac{1}{-\sin^2(3x)}dx = \frac{1}{3}ctg(3x)+C.

 

\int \frac{-1}{\sin^2(ax)}dx = \frac{1}{a}ctg(ax)+C.


Użytkownik janusz edytował ten post 21.09.2015 - 20:56

  • 1

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2015 - 22:49

*
Najwyższa ocena

Zrobiłam tak:

\int\frac{1}{cos^2(3x)-cos^2(3x)-sin^2(3x)}dx=\int\frac{1}{-sin^2(3x)}dx=

 

No i dobrze do tego momentu a teraz

 

\int\frac{1}{-sin^2(3x)}dx   

 

Podstawienie 3x=t            więc            \frac{1}{3}dt=dx

 

\int\frac{1}{-sin^2(3x)}dx=\frac{1}{3} \int - \frac{dt}{sin^2(t)}=\frac{1}{3} ctg(t)+C=\frac{1}{3} ctg(3x)+C


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.09.2015 - 23:10

A moge w liczniku wykorzystac jeszcze raz jedynke trygonometryczna?
Ale chyba nuepotrzebnie.
Chyba znow blad znalezlismy w ksiazce;)
  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2015 - 23:36

Możesz tylko po co. Twoje rozwiązanie też by poszło (sprawdź tylko obliczenia - co robi tam tg??) ale tak jest szybciej

 

Napisz jak wyszedł Ci tg, mi wychodzi ctg ale mogę się mylić - sprawdź mnie :D


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 06:20


A moge w liczniku wykorzystac jeszcze raz jedynke trygonometryczna?

 

Tak zwłaszcza gdy zapominisz to co napisał janusz

 

Wtedy jedynka trygonometryczna w liczniku oraz całkowanie przez części pozwolą ci policzyć tę całkę

 

\int{\frac{1}{\cos^{2}{3x}-1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{1}{\cos^{2}{3x}-\cos^{2}{3x}-\sin^{2}{3x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{1}{-\sin^{2}{3x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{-1}{\sin^{2}{3x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{-\cos^{2}{3x}-\sin^{2}{3x}}{\sin^{2}{3x}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\cos{3x}}{3}\cdot\frac{\left(-3\cos{3x}\right)}{\sin^{2}{3x}}}-\int{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{1}{3}\cdot\frac{\cos{3x}}{\sin{3x}}-\int{\frac{\left(-3\sin{3x}\right)}{3}\cdot\frac{1}{\sin{3x}}\mbox{d}x}-\int{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{1}{3}\cdot\frac{\cos{3x}}{\sin{3x}}+\int{\mbox{d}x}-\int{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{1}{3}\cdot\frac{\cos{3x}}{\sin{3x}}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.06.2016 - 12:00

  • 2

#11 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.09.2015 - 08:55

Odp w ksiazce jest inna.napisze ja pozniej jak bede na komputerze

odp w ksiazce jest taka:

\frac{1}{6}(tg(\frac{3}{2}x))^{-1}-\frac{1}{6}tg(\frac{3}{2}x)+C


  • 0

#12 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 09:27

To to samo

 

\frac{1}{6}(tg(\frac{3}{2}x))^{-1}-\frac{1}{6}tg(\frac{3}{2}x)=\frac{1}{6}ctg(\frac{3}{2}x)-\frac{1}{6}tg(\frac{3}{2}x)=\frac{1}{6}\(ctg(\frac{3}{2}x)-tg(\frac{3}{2}x)\)

 

\fbox{\fbox{\operatorname{ctg}x- \operatorname{tg}y=\frac{\cos(x+y)}{\sin x\cos y}}

 

=\frac{1}{6}\(\frac{cos(3x)}{\sin\(\frac{3}{2}x\)\cdot \cos\(\frac{3}{2}x\)}\)

 

\fbox{\fbox{\sin x \cdot \cos y = \frac{\sin (x - y) + \sin (x + y)}{2}}}

 

=\frac{1}{6}\(\frac{cos(3x)}{\frac{\sin (0) + \sin (3x)}{2}}\)=\frac{1}{3} \(\frac{cos(3x)}{sin(3x)}\)=\frac{1}{3} ctg(3x)

 

:)


Nie patrz, że w książce jest inna odpowiedz. Całki to ta cudowna dziedzina, że wynik może różnić się o stałą a poza tym różne podejścia dają często "różne" (wizualnie) rozwiązanie.

 

Chcesz sprawdzić czy jest ok - policz pochodną z otrzymanej funkcji.

 

Druga sprawa, że przy całkach trygonometrycznych często się tak właśnie zdarza - co wynika z okresowości i mnogości tożsamości trygonometrycznych.

 

Nie panikuj więc tylko licz pochodne.

 

Inna sprawa - ciekawe jakie podejście da nam taki wynik :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.09.2015 - 09:34

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#13 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.09.2015 - 09:49

Po co  komplikować, jeżeli wiadomo, że funkcją pierwotną funkcji  - \frac{1}{\sin^2(x)} jest funkcja ctg(x), bo pochodna kotangensa jest funkcją -\fra{1}{\sin^2(x)}.


  • 0

#14 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.09.2015 - 10:24

bardzo dziękuje za przydatne wskazówki....odpowiedzi w podreczniku nieraz mnie zniechecają...myśle wtedy, że cos zle zrobiłam ;( dziękuje wam bardzo za pomoc.


  • 0