Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

równanie liczby zespolonej potęgi 3

Liczby zespolone

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 axelek

axelek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.09.2015 - 20:10

Mam problem z takim równaniem:
z^3 =i|z|
Dowiedziałem się że można skorzystać z wzoru Eulera, ale nie mam pojęcia jak.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.09.2015 - 08:22

 z = re^{i(\phi +2k\pi)},

 

 (r^3e^{i(3\phi +2k\pi)} = ir.

 

 (r^3e^{i(3\phi +2k\pi)} - ir =0.

 

r\( r^2 e^{i(3\phi 2k\pi}-i\) =0.

 

 r=0, z_{1}=0.

 

 r^2e^{i(3\phi+2k\pi)}=1 e^{i\frac{\pi}{2}}.

 

r = 1.

 

\phi_{k} = \frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi, k= 0,\ \ 1,\ \ 2.

 

k=0,\ \ z_{2} =1(\cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6)= \frac{1}{2}\sqrt{3}+ i\frac{1}{2}.

 

k=1, \ \ z_{3}= 1(\cos(5\pi/6)+ i\sin(5\pi/6)= -\frac{1}{2}\sqrt{3}+i\frac{1}{2}.

 

 k=2, \ \ z_{4}= 1(\cos(3\pi/2)+i\sin(3\pi/2)= 0 - i = -i.


Użytkownik janusz edytował ten post 14.09.2015 - 08:23

  • 0

#3 axelek

axelek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.09.2015 - 16:34

                           Dziękuję bardzo, ale mam pytanie mianowicie zrobiłem to zadanie w następujący sposób i mam błąd, mógłbyś mi wytłumaczyć gdzie ?
założenia
0\le\phi<2\pi ;     
r>0
 
z^3=i|z|
r^{3}*e^{3i\phi}=i*r*e^{i*0}
r(r^{2}-1)=0 => r=0 \cup r=1
e^{3i\phi}=e^{i*0} => 3\phi= 0+2K\pi, K\in C
\phi = \frac{2k\Pi}{3}  
zgodnie z założeniami K może
równać się tylko 0,1,2
z=r(cos\phi + i*sin\phi)
 z_{1}=0
z_{2}=1
z_{3}= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*i
z_{4}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}*i
 
Wyszły mi wyniki odwrotne do Twoich. Ale dlaczego ?

  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.09.2015 - 18:53

Rozwiązanie Janusza jest poprawne do czego możesz dojść po wstawieniu 1 do równania (NIE JEST TO JEDNO Z ROZWIĄZAŃ)

 

Problemem jest kąt - źle go wyznaczyłeś


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską