Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Złożenie funkcji hiperbolicznych i funkcji area

Złożenie Funkcje hiperboliczne Funkcja area

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3341 postów
3012
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.09.2015 - 17:07

*
Najwyższa ocena

<br>\\\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br>\\\alpha &sinh(\alpha) & cosh(\alpha) & tgh(\alpha)& ctgh(\alpha)& sech(\alpha)&csch(\alpha) \\ \hline<br>\\arcsinh(x) &x & \sqrt{1+x^2} &\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}& \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}& \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}&\frac{1}{x} \\ \hline</p>\\<p>arccosh(x) &\sqrt{x^2-1} & x & \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}& \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}& \frac{1}{x}&\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \\ \hline</p>\\<p>arctgh(x) &\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & x & \frac{1}{x}& \sqrt{1-x^2}&\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\\ \hline</p>\\<p>arcctgh(x) &\frac{1}{x\cdot \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \,\, (*)& \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\,\, (* *) & \frac{1}{x}& x& \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\,\,(***)& x\cdot \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\,\,(* * * *)\\ \hline</p>\\<p>arcsech(x) &\frac{\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}\cdot (x+1)}{x}\,\, (a) & \frac{1}{x}& \sqrt{\frac{1-x}{x+1}}\cdot (x+1)\,\,(b)& \frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}\cdot (x+1)}\,\,(c)& x&\frac{x}{\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}\cdot (x+1)}\,\,(d) \\ \hline</p>\\<p>arccsch(x) &\frac{1}{x} & \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} &\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\cdot x}\,\,(\triangle)& \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\cdot x \,\,(\nabla)& \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}&x \\ \hline\end{array}<br>\\

 

Dla x dodatniego wzory mają się następująco:

<br>\\\begin{array} {|c|c|}\hline</p>\\<p>Oznaczenie& \\ \hline<br>\\* & \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \\ \hline</p>\\<p>** & \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \\ \hline</p>\\<p>*** & \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}\\ \hline</p>\\<p>**** & \sqrt{x^2-1}\\ \hline</p>\\<p>a & \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \\ \hline</p>\\<p>b & \sqrt{1-x^2} \\ \hline</p>\\<p>c & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline</p>\\<p>d & \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline</p>\\<p>\triangle &\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \hline</p>\\<p>\nabla & \sqrt{x^2+1} \\ \hline</p>\\<p>\end{array}<br>\\


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 14.09.2015 - 19:29

  • 4

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3341 postów
3012
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.09.2015 - 19:25

*
Najwyższa ocena

Jak to wyprowadzić - bardzo łatwo. Zasadniczo należy tylko pamiętać o dziedzinie a to w aspekcie wyciągania pierwiastka.

 

\bl{cosh(arctgh(x))}

 

Oznaczmy

 

arctgh(x)=y              więc              tgh(y)=x

 

czyli \frac{sinh(y)}{cosh(y)}=x

 

z jedynki trygonometrycznej

 

\fbox{cosh^2(w)-sinh^2(w)=1}                   sinh^2(w)=cosh^2(w)-1

 

czyli

 

\frac{sinh^2(y)}{cosh^2(y)}=x^2

 

\frac{cosh^2(y)-1}{cosh^2(y)}=x^2

 

cosh^2(y)-1=x^2cosh^2(y)

 

cosh^2(y)-x^2cosh^2(y)=1

 

cosh^2(y)(1-x^2)=1

 

czyli cosh^2(y)=\frac{1}{1-x^2}

 

cosh(y)=\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}

 

\bl{cosh(arctgh(x)=\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}}

 

 

 

\re{sech(arcsinh(x))}

 

Oznaczmy

 

arcsinh(x)=t              więc              sinh(t)=x

 

z jedynki trygonometrycznej

 

\fbox{cosh^2(x)-sinh^2(x)=1}                   sinh^2(x)=cosh^2(x)-1

 

czyli

 

x=sinh(t)=\sqrt{cosh^2(t)-1}=\sqrt{\frac{1}{sech^2(x)}-1}            co daje

 

x^2=\frac{1}{sech^2(t)}-1

 

x^2+1=\frac{1}{sech^2(t)}

 

\frac{1}{x^2+1}=sech^2(t)

 

sech(t)=\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}

 

więc

 

\re{sech(arcsinh(x))=\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 14.09.2015 - 19:28

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską