Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

cyfra jednosci

Teoria liczb

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 955 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.09.2015 - 12:07

Znajdź cyfrę jedności liczby 20122012


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.09.2015 - 14:46

Jaką liczbę jedności ma

 

2012^2  a no ma cyfrę 4  

 

2012^3 a no 8

 

2012^4 a no 6

 

2012^5 a no 2

 

2012^6 a no 4

 

itd taki układ 2, 4, 8, 6, będzie się powtarzał a więc w zasadzie interesuje Cię jaki jest 2012 element takiego ciągu a 2012 dzieli się na 4 - co powinno dać Ci rozwiązanie

 

---------------

 

Możesz jeszcze tak bo w zadanie interesuje Cię ostatnia cyfra wiec ile to będzie 2^{2012}

 

Pewnie tego jeszcze nie było ale zadanie podchodzi pod działania modulo i kongruencję.

 

2 ^{4k}\equiv 6(mod10),

2 ^{4k+1}\equiv 8(mod10),

2 ^{4k+2} \equiv 4(mod10),

2 ^{4k+3}\equiv 2(mod10)

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.09.2015 - 14:48

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 955 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.09.2015 - 19:56

nie ma innego sposobu rozwiazania? srednio go kumam:(


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.09.2015 - 21:05

To napisz czego nie "kumasz".

 

Przeanalizuj to z cyframi na końcu - zauważ, że cyfrę jedności dostaniesz tylko mnożąc cyfry jedności i zauważysz, że co cztery wyniki masz tą samą cyfrę jedności

 

2012^1 ma tą samą cyfrę jedności co 2012^5 i co 2012^9 i co 2012^{2009}

 

2012^2 ma tą samą cyfrę jedności co 2012^6 i co 2012^{10} i co 2012^{2010}

 

2012^3 ma tą samą cyfrę jedności co 2012^7 i co 2012^{11} i co 2012^{2011}

 

2012^4 ma tą samą cyfrę jedności co 2012^8 i co 2012^{12} i co 2012^{2012} czyli cyfrę 6


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.09.2015 - 21:30

Możesz to ewentualnie rozpisać ze wzorów skróconego mnożenia / wzoru dwumianowego. Na przykład:

 

2012^2\quad=\quad \(2010+2\)^2\quad=\quad 2010^2+2\cdot2\cdot 2010+2^2

 

Zauważ, że dwa pierwsze składniki są zawsze podzielne przez 10, przez co mają zero na końcu. Wobec tego na cyfrę jedności wpływa jedynie 2^2. Analogicznie jest z wyższymi potęgami, np.:

 

2012^3\quad=\quad (2010+2)^3\quad=\quad 2010^3+3\cdot2\cdot 2010^2+3\cdot 2^2\cdot 2010+2^3

 

Czyli cyfra jedności liczby 2012^3 jest dokładnie taka sama, jak liczby 2^3. I tak dalej.

 

Wobec tego szukasz tak naprawdę cyfry jedności liczby 2^{2012}. A to możesz rozwiązać w analogiczny sposób, jak zrobił na początku @Jarekzulus, czyli zaobserwować powtarzający się "cykl". Dwójki łatwiej jest podnosić do potęgi, niż 2012 :)


  • 1
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=