Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Minimum funkcji kwadratowej

Funkcje

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
14 odpowiedzi w tym temacie

#1 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 00:15

Wyznacz wszystkie całkowite wartości HzadT0x.gif, dla których funkcja HzadT1x.gif osiąga minimum i ma dwa różne miejsca zerowe.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 00:48

No to po kolei - kiedy funkcja ma dwa różne miejsca zerowe a następnie jak liczysz wartość najmniejszą

 

współczynnik a>0  (przy x^2) Bo jak mniejszy to nie ma wartości minimalnej

 

\Delta>0 dwa miejsca zerowe a wartość jest najmniejsza w wierzchołku

 

Teraz czekam co Ci wyszło - sam pokombinujesz - więcej się nauczysz


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 10:23

Skoro a > 0  to   {k^2- k-2 \over k-4 } >0   to wtedy  będzie to większe gdy (k^2-k-2)(k-4) > 0 .

 

Licze deltę 

\Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=9

sqrt{\Delta} = 3  

 

k_2= \frac{1-3}{2}=-1   k_2= \frac{1+3}{2}=2

 

k\in(-\infty,-1) \cup (2,\infty)   

 

A drugi to (4,\infty)

 

   
Następnie\Delta musi być większe od zera    

 

\Delta=  (k-2)^2 -4(k^2-k-2) już po skróceniu 

 

\Delta= k^2-4k+4-4k^2+4k+8 = -3k^2+12>0  dzielę przez (-3)

 

\Delta= k^2-4<0     k\in (-2,2)     No i to być iloczyn obu przedziałów . Nie ma takiej liczby całkowitej
 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 11:08
Edycja TeX

  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 11:05

(k^2-k-2)(k-4) > 0

 

robisz trochę inaczej ( no przynajmniej nie dokończyłeś jak trzeba)

 

liczysz miejsca zerowe i masz (rysujesz wielomian w przybliżeniu)

 

k=-1        k=2            k=4  więc

 

(k^2-k-2)(k-4) > 0   gdy   k\in (-1,2)\cup (4,\infty)

 

Deltę całości policzyłeś ok czyli k\in (-2,2)

 

Zostaje wierzchołek do wyznaczenia (p) bo szukasz argumentu dla której wartość jest najmniejsza


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 11:14

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 12:00

Nie rozumiem , dlaczego jak policzę deltę to jest źle  nie wyjdzie , że k należy  (-1,2) . A wierzchołek to  będzie iloczyn obu przedziałów?


Użytkownik RSWT edytował ten post 28.08.2015 - 12:02

  • 0

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 12:20

Nierówności wielomianowe (k^2-k-2)(k-4) > 0 rozwiązujesz tak

 

1. liczysz gdzie są miejsca zerowe i tu policzyłeś ok, ale wniosek był zły

 

(k^2-k-2)(k-4)>0 gdy  k\in (-1,2)\cup (4,\infty)

 

pre_1440760424__wykkhj.jpg

 

A robisz to tak

Na osi zaznaczasz wszystkie miejsca zerowe czyli -1,  2,     4

 

Następnie jeśli przy najwyższej potędze był + rysujesz od prawej od góry, jesli przy najwyższej potędze był - rysujesz od prawej od dołu przechodząc przez ostatnie miejsce zerowe a następnie przez wcześniejsze itd

 

Uwaga

 

Jeśli są miejsca zerowe podwójne czyli x_1=2  x_2=2  x_3=4 to wykres się w 2 odbije (nie przejdzie przez 2)

Tak się dzieje gdy miejsca zerowe są parzyste (2, 4... takie same) jeśli nieparzyste (1,3,5...) to wykres przechodzi przez miejsce zerowe (zmienia znak).

 

Mam nadzieje, że rozjaśniłem


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 12:33

No tak tylko jeszcze w szkole nie przerabiałem wielomianów dlatego chciał to tak zrobić . Czyli wierzchołkiem będzie 0 lub 1 ?


  • 0

#8 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 16:31

Funkcja kwadratowa

 

 f_{k}(x) = \frac{k^2-k -2}{k-4}x^2 -(k-2)x +k-4

 

 ma minimum  i   dwa różne miejsca zerowe dla k całkowitych, gdy spełniony jest układ dwóch  warunków:

 

 a = \frac{k^2 -k -2}{k-4}>0\wedge k\in Z\wedge k\neq 4.

 

 \Delta = \[-(k-2)\]^2 - 4\frac{k^2 -k -2}{k-4} (k-4)>0\wedge k \in Z \wedge k\neq 4.

 

Sprowadzamy do postaci iloczynowej trójmian  k^2 -k -2

 

 k^2 - k -2 = ( k - 2)(k + 1).

 

Pierwszy  układ  nierówności jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy 

 

\[ (k-2)(k+1) >0\wedge k- 4 >0 \] \vee \[(k-2)(k+1)<0\wedge k-4 <0 \]\wedge k\in Z .

 

 k\in \{ 0, 1 \}\cup \{ 5,6,...\} (1)

 

Drugi układ,  gdy

 

 \[ (k-2)^2 -4(k-2)(k+1)>0 \]\wedge ( k\in Z).

 

 \[ -3(k-2)(k+2)>0 \]\wedge (k\in Z)

 

 k\in \{-1, 0, 1\} (2)

 

Biorąc część wspólną zbiorów  (1), (2) otrzymujemy

 

 k\in \{ 0, 1\} .

 

Sprawdzenie:

 

 k=0

 

 f_{0}(x) = \frac{1}{2}x^2 +2x - 4, \ \ \Delta _{0} = 12> 0.

 

 k =1

 

 f_{1}(x) =\frac{2}{3}x^2 +x -3, \ \ \Delta_{1} = 9 >0.

 

 

 

 

 


  • 1

#9 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 18:32

Dlaczego przedziałem jest  {0,1} ?


  • 0

#10 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 20:06

To nie jest  przedział lecz zbiór złożony  z dwóch liczb całkowitych 0, 1, jako część wspólna zbiorów liczb całkowitych  \{ 0,1\}\cup \{5,6,...\} i  \{-1, 0, 1\}.

Dlatego występują " klamerki" a nie nawiasy.


  • 1

#11 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 20:17

Ale skąd się wzięło  {0,1} z pierwszego układu ?


  • 0

#12 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 20:22

\[ (k-2)(k+1) >0\wedge k- 4 >0 \] \vee \[(k-2)(k+1)<0\wedge k-4 <0 \]\wedge k\in Z .

 

Iloczym (wynik mnożenia jest dodatni gdy obie są dodatnie (k-2)(k+1) >0\wedge k- 4 >0   lub obie są ujemne (k-2)(k+1)<0\wedge k-4 <0  obie jednocześnie

 

rozwiązujesz i masz

 

 k\in \{ 0, 1 \}\cup \{ 5,6,...\}

 

Możesz to też zobaczyć na wykresie (patrz wyżej)

 

wyniki \{0,1\}  uzyskasz z (k-2)(k+1)<0\wedge k-4 <0


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 20:27

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#13 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 20:59

skąd wzięło się 0 z iloczynu takich przedziałów?


  • 0

#14 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 21:08

Bo  liczby 0,1  występują jako wspólne w tych dwóch zbiorach liczbowych, powtarzam nie przedziałach lecz w zbiorach złożonych z ziarenek liczb całkowitych.

 

 


  • 1

#15 RSWT

RSWT

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 132 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 21:18

A no tak , teraz już rozumiem , zapomniałem , że chodziło o liczby całkowite 


  • 0