Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 1/sin(x) rózne podejścia

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4108 postów
3364
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2015 - 22:56

\bl\int \frac{1}{sin^3(x)}dx

 

a) Wykorzystując wzór rekurencyjny                         \mbox{\re {csc(x)=\frac{1}{sin(x)}}}

 

\int \:\csc ^n\left(x\right)dx=-\frac{\cos \left(x\right)\csc ^{n-1}\left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \csc ^{n-2}\left(x\right)dx

 

b) Wykorzystując podstawienie trygonometryczne

 

u=tg \left(\frac{x}{2}\right)\quad \quad dx=\frac{2}{1+u^2}du,\:\csc \left(x\right)=\frac{1+u^2}{2u}

 

c) Przekształcenie wzoru

 

\int{\frac{dx}{\sin^{3}{x}}}=\int{\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\sin^{3}{x}}\mbox{d}x}

 

d) Przez części


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 11:32

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4108 postów
3364
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 10:40

*
Najwyższa ocena

\int \frac{1}{sin^3(x)}dx

 

Wykorzystując wzór rekurencyjny                         \mbox{\re {csc(x)=\frac{1}{sin(x)}}}

 

\int \:\csc ^n\left(x\right)dx=-\frac{\cos \left(x\right)\csc ^{n-1}\left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \csc ^{n-2}\left(x\right)dx

 

czyli mamy

 

\int \frac{1}{sin^3(x)}dx=-\frac{cos(x)\cdot csc^2(x)}{2}+\frac{1}{2}\int csc(x)dx=-\frac{ctg(x)}{2 sin(x)} +\frac{1}{2}\int \frac{1}{sin(x)}dx

 

Zostaje do policzenia całka

 

\int csc(x)dx=\int \frac{1}{sin(x)}dx            rozszerzam ułamek przez              -ctg(x)-csc(x)

 

\int csc(x)dx=\int - \frac{-ctg(x)\cdot csc(x)-csc^2(x)}{ctg(x)+csc(x)}

 

Teraz robimy podstawienie                 t=ctg(x)+scs(x)                 więc                 dt=\(-scs^2(x)-\frac{cos(x)}{sin^2(x)}\)dx=\(-scs^2(x)-ctg(x)\cdot csc(x)\)dt

 

-\int \frac{-ctg(x)\cdot csc(x)-csc^2(x)}{ctg(x)+csc(x)}=-\int \frac{1}{t}dt=-ln|t|+C=-ln|ctg(x)+csc(x)|+C

 

Czyli

 

\bl \int csc^3(x)dx=\int \frac{1}{sin^3(x)}dx=-\frac{ctg(x)}{2 sin(x)} +\frac{1}{2}\(-ln|ctg(x)+csc(x)|\)+C=-\frac{ctg(x)}{2 sin(x)} -\frac{1}{2}ln|ctg(x)+csc(x)|+C

 

a

 

\bl\int csc(x)dx=-ln|ctg(x)+csc(x)|+C=-ln|ctg\(\frac{x}{2}\)|+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 21:39

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4108 postów
3364
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 10:52

*
Najwyższa ocena

\int \csc \left(x\right)dx

 

wykorzystując podstawienie trygonometryczne

 

u=tg \left(\frac{x}{2}\right)\quad \quad dx=\frac{2}{1+u^2}du,\:\csc \left(x\right)=\frac{1+u^2}{2u}

 

=\int \frac{1+u^2}{2u}\frac{2}{1+u^2}du=\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C

 

a wykorzystując wzory trygonometryczne i własności logarytmów mamy

 

ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C=ln\|\frac{\sin\(\frac{x}{2}\)}{\cos\(\frac{x}{2}\)}\|+C=ln|\sin\(\frac{x}{2}\)|-ln|\(\cos\frac{x}{2}\)|+C


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4108 postów
3364
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 11:17

Wykorzystując podstawienie trygonometryczne

 

\int csc^3(x)dx=\int \frac{1}{sin^3(x)}dx

 

u=tg \left(\frac{x}{2}\right)\quad \quad dx=\frac{2}{1+u^2}du,\:\csc \left(x\right)=\frac{1+u^2}{2u}

 

\int csc^3(x)dx=\int \left(\frac{1+u^2}{2u}\right)^3\frac{2}{1+u^2}du=\int \frac{\left(u^2+1\right)^2}{4u^3}du=\frac{1}{4}\int \frac{\left(u^2+1\right)^2}{u^3}du=\frac{1}{4}\left(\int udu \int \frac{2}{u}du+\int\frac{1}{u^3}du\right)=\frac{1}{8}u^2+\frac{1}{2}ln|u|-\frac{1}{8u^2}+C

 

\int csc^3(x)dx=\frac{1}{8}\(tg\(\frac{x}{2}\)\)^2+\frac{1}{2}ln|tg\(\frac{x}{2}\)|-\frac{1}{8tg^2\(\frac{x}{2}\)}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 28.08.2015 - 11:28

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4108 postów
3364
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2015 - 11:18

Przekształcenie wzoru

 

\int \frac{dx}{\sin^{3}(x)}=\int \frac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\sin^{3}(x)}dx

 

\int{\cos(x)\cdot\frac{cos(x)}{\sin^{3}(x)}dx+\int \frac{dx}{sin(x)}

 

Pierwsza przez części i dodajemy drugą

 

-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{sin(x)}+\int \frac{dx}{sin(x)}=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{sin(x)}

 

Tą całkę już policzyno w poście 2 i 3.

 

Ale można to zrobić jeszcze na inny sposób np. tak:

 

\int \frac{dx}{sin(x)}=\int \frac{sin(x)}{sin^2(x)}dx=\int \frac{sin(x)}{1-cos^2(x)}dx

 

Podstawiamy                 cos(x)=v          sin(x)dx=-dv

 

\int \frac{sin(x)}{1-cos^2(x)}dx=-\int \frac{dv}{1-v^2}=-\int \frac{dv}{(1-v)(1+v)}=-\(\int \frac{A}{1-v}dv+\int \frac{B}{1+v}dv\)

 

 

A\left(1+v\right)+B\left(1-v\right)=1

\{A+B=1\\A-B=0

\{2A=1\\B=A

\{A=\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2}

 

-\(\int \frac{\frac{1}{2}}{1-v}dv+\int \frac{\frac{1}{2}}{1+v}dv\)=-\(-\frac{1}{2}ln|1-v|+\frac{1}{2}ln|1+v|\)+C=\frac{1}{2}\(ln|1-v|-ln|1+v|\)+C\\=\frac{1}{2}ln\|\frac{1-v}{1+v}\|+C=\frac{1}{2}ln\|\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}\|+C

 

czyli

 

\int \frac{1}{sin(x)}dx=\frac{1}{2}ln\|\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}\|+C

 

Wracając do wyjściowej całki

 

\int \frac{1}{sin^3(x)}dx=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{sin(x)}=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{4}ln\|\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}\|+C

 

Przekształcając możemy także uzyskać następujący wynik

 

\int \frac{1}{sin^3(x)}dx=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{4}ln\|\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}\|+C=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{4}ln\|\frac{(1-cos(x))^2}{1-cos^2(x)}\|+C=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{4}ln\|\frac{(1-cos(x))^2}{sin^2(x)}\|+C=\\=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{4}ln\|\(\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\)^2\|+C=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{2}ln\|\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\|+C

 

Czyli

 

\int \frac{1}{sin^3(x)}dx=-\frac{cos(x)}{2sin^2(x)}+\frac{1}{2}ln\|\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\|+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.08.2015 - 18:38

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4108 postów
3364
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.08.2015 - 18:44

Przez części

 

\int csc^3(x)dx=\int \frac{1}{sin^3(x)}dx

 

f(x)=csc(x)                                       g'(x)=csc^2(x)

f'(x)=-ctg(x)\cdot csc(x)               g(x)=-ctg(x)

 

\int csc^3(x)dx=-csc(x)\cdot ctg(x)-\int ctg^2(x)\cdot csc(x)dx=-csc(x)\cdot ctg(x)-\int (csc^2(x)-1)\cdot csc(x)dx=-csc(x)\cdot ctg(x)-\int \(csc^3(x)-csc(x)\)dx

 

czyli

 

\int csc^3(x)dx=-csc(x)\cdot ctg(x)-\int csc^3(x)dx+\int csc(x)dx

 

więc

 

2\int csc^3(x)dx=-csc(x)\cdot ctg(x)+\int csc(x)dx

 

 

\int csc^3(x)dx=-\frac{1}{2}csc(x)\cdot ctg(x)+\frac{1}{2}\int csc(x)dx

 

Zostaje do policzenia całka \int csc(x)dx   tym razem wykorzystamy tożsamości trygonometryczne

 

sin(x)=2\sin\(\frac{x}{2}\)\cos\(\frac{x}{2}\)

 

\int csc(x)dx=\int \frac{1}{\sin(x)}dx=\int \frac{1}{2\sin\(\frac{x}{2}\)\cos\(\frac{x}{2}\)}dx

 

Jesli podstawimy \frac{x}{2}=k        \frac{1}{2}dx=dk  to

 

\int \frac{1}{2\sin\(\frac{x}{2}\)\cos\(\frac{x}{2}\)}dx=\int\frac{1}{\sin(k)cos(k)}dx=\int\frac{sec^2(k)}{sec^2(k)\sin(k)\cos(k)}dx=\int\frac{sec^2(k)}{tg(k)}dk=\int \frac{dk}{tg(k)\cdot \cos(k)}

 

Podstawienie     tg(k)=s      \frac{dk}{\cos(k)}=ds

 

\int\frac{dk}{tg(k)\cdot \cos(k)}=\int\frac{ds}{s}=ln|s|+C=ln|tg(k)|+C=ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C

 

czyli

 

\int sec(x)=ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C

 

a nasz całka

 

\int csc^3(x)dx=-\frac{1}{2}csc(x)\cdot ctg(x)+\frac{1}{2}ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C=\frac{1}{2}ln|tg\(\frac{x}{2}\)|-\frac{1}{2}csc(x)\cdot ctg(x)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.08.2015 - 18:45

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 894 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2018 - 13:40

Wzór rekurencyjny można wyprowadzić w sposób podany we wpisie z  28.08.2015 - 11:18


  • 0