Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.08.2015 - 18:23

Oblicz całkę 

 

\int{\sqrt{x+\sqrt{x}}\mbox{d}x}

 

wskazówka
Zastosować podstawienie Eulera (dla wygody można wcześniej podstawić x=t^2)

Z podstawień Eulera pierwsze będzie wygodniejsze

 

Można też zastosować podstawienie związane z całkowaniem różniczki dwumiennej

 

 

P.S.
Dałem poziom LICEUM bo Dróbka Szymański to zbiór do liceum a jak ja chodziłem

to całki były jeszcze w technikum

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.08.2015 - 09:45

  • 1

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.08.2015 - 00:29

*
Najwyższa ocena

Mariusz to ja inaczej dla urozmaicenia :) tak wiem można prościej :bober:

 


\int{\sqrt{x+\sqrt{x}}\mbox{d}x}

 

przez części

 

f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}},\:\:f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}},\:\:g'(x)=1,\:\:g(x)=x

 

Co nam da:

 

\int{\sqrt{x+\sqrt{x}}dx=\sqrt{x+\sqrt{x}}x-\int \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}xdx=x\sqrt{x+\sqrt{x}}-\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx

 

Ok teraz to "monstrum"

 

\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx

 

Jakoś trzeba to po redukować, więc teraz podstawienie

 

u=\sqrt{x+\sqrt{x}}                                                 x=\frac{2u^2+1}{2}-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}

 

du=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx\quad \:du=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2u}dx,\:\quad \:dx=\frac{2u}{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}du

 

Dzięki temu mamy

 

=\frac{1}{2}\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{u}\frac{2u}{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}du=\frac{1}{2}\int \:2xdu=\frac{1}{2}\int \:2\left(\frac{2u^2+1}{2}-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}\right)du

 

=\int \frac{2u^2+1}{2}-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du=\int \:u^2-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}+\frac{1}{2}du=\int \:u^2du-\int \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du+\int \frac{1}{2}du

 

Została tylko środkowa do policzenia

 

\int \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du=\frac{1}{2}\int \sqrt{4u^2+1}du                 Można tak : Całka z pierwiastka

 

Ale jak już skombinować to może tak:

 

Zrobimy podstawienie trygonometryczne

 

u=\frac{1}{2}tg (v):\quad \quad du=\frac{1}{2 cos^2(v)}dv=\frac{\sec ^2\left(v\right)}{2}dv

 

i dostaniemy

 

=\frac{1}{2}\int \sqrt{4\left(\frac{1}{2}tg \left(v\right)\right)^2+1}\frac{\sec ^2\left(v\right)}{2}dv=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{tg ^2\left(v\right)+1}\sec ^2\left(v\right)}{2}dv=\frac{1}{4}\int \sqrt{tg ^2\left(v\right)+1}\cdot \sec ^2\left(v\right)dv

 

Korzystając z                                \fbox{\re{1+tg ^2\left(x\right)=\sec ^2\left(x\right)}}

 

=\frac{1}{4}\int \sqrt{\sec ^2\left(v\right)}\cdot \sec ^2\left(v\right)dv=\frac{1}{4}\int \sec ^3\left(v\right)dv

 

Teraz można na kilka sposobów: Patrz tu

 

To może korzystając z wzoru \gr{\fbox{\fbox{\int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx}}}

 

mamy

 

\int \sec ^3\left(v\right)dv=\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\int \sec \left(v\right)dv

 

więc

 

\frac{1}{4}\int \sec ^3\left(v\right)dv=\frac{1}{4}\(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\int \sec \left(v\right)dv\)=\frac{1}{4}\(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left(tg \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right)\)+C

 

bo  \int \:\sec \left(v\right)dv=\ln \left(tg \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right)   taki mały skrót bo zaczyna robić się długie :champagne:

Odwracamy podstawienia v=arctg \left(2u\right)

 

I dostaniemy kolosa

 

\frac{1}{4}\(\frac{\sec ^2\left(arctg \left(2u\right)\right)\sin \left(arctg \left(2u\right)\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left(\tan \left(arctg \left(2u\right)\right)+\sec \left(arctg \left(2u\right)\right)\right)\)+C

 

Czarodziejskimi sposobami można to uprościć do postaci (albo tu)

 

=\frac{1}{4}\(\sqrt{4u^2+1}u+\frac{\ln \left(\sqrt{4u^2+1}+2u\right)}{2}\)+C

 

W całości (te trzy całki) dadzą nam:

 

\int \:u^2du-\int \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du+\int \frac{1}{2}du=\frac{u^3}{3}-\frac{\sqrt{4u^2+1}u+\frac{\ln \left(\sqrt{4u^2+1}+2u\right)}{2}}{4}+\frac{u}{2}+C

 

Zostaje powrót do zmiennej x :whistle:

 

\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^3}{3}-\frac{\sqrt{4\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^2+1}\sqrt{x+\sqrt{x}}+\frac{\ln \left(\sqrt{4\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^2+1}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)}{2}}{4}+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{2}+C

 

Tak wiem można było łatwiej :devil:  choć przyznacie plusik się należy  :crazy:


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2015 - 17:18

  • 6

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.08.2015 - 01:18

*
Najwyższa ocena

Jeszcze jeden zwariowany pomysł

 

\int \sqrt{x+\sqrt{x}}dx

 

Tym razem podstawienie                   u=\sqrt{x}                          du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx                     \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du

 

\int\sqrt{\sqrt{x} + x} dx = \int 2 u \sqrt{u^{2} + u} du

 

Jeśli teraz dodamy i odejmiemy dostaniemy              u = u +\frac{1}{2}- \frac{1}{2}

 

2 \int u \sqrt{u^{2} + u} du = 2 \int \left(\left(u + \frac{1}{2}\right) \sqrt{u^{2} + u} - \frac{1}{2} \sqrt{u^{2} + u}\right) du          Korzystając z addytywności mamy dwie całki

 

=2 \int \left(u + \frac{1}{2}\right) \sqrt{u^{2} + u} d u + 2 \int \left(- \frac{1}{2} \sqrt{u^{2} + u}\right)du

 

Pierwsza z całek: Robimy podstawienie               v=u+u^2              dv=(1+2u)du              \(\frac{1}{2}+u\)du=\frac{dv}{2}

 

=2 \int \left(u + \frac{1}{2}\right) \sqrt{u^{2} + u} d u=\int \frac{\sqrt{v}dv}{2}=\int \sqrt{v}dv=\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{v^3}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\(u+u^2\)^3}+C

 

Druga z całek       Sprowadzamy do postaci kanonicznej                   u^{2} + u = \left( u + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}

 

2 \int \left(- \frac{1}{2} \sqrt{u^{2} + u}\right)du= - \int \sqrt{u^{2} + u}du=-\int{\sqrt{\left(u + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}du

 

Podstawieniem                       u + \frac{1}{2}=v            otrzymamy

 

=-\int{\sqrt{v^{2} - \frac{1}{4}} d v                       a                      podstawieniem                   v=\frac{1}{2} \sec{\left (w \right )}                dv=\frac{1}{2} tg{\left (w \right )} \sec{\left (w \right )} dw

 

I wyłączając przez z pierwiastka \frac{1}{4}          oraz korzystając później z równości    \fbox{tg^2(w)=sec^2(w)-1}                    dostaniemy

 

-\int{\sqrt{v^{2} - \frac{1}{4}} d v=-\int \frac{1}{4} tg^{2}{\left (w \right )} \sec{\left (w \right )} d w=-\frac{1}{4}\int \(sec^2(w)-1\)\cdot \sec{\left (w \right )} d w=-\frac{1}{4}\int sec^3(w)-sec(w) dw

 

Rozwiązania tych całek już były omawiane wyżej w odnośniku.


  • 6

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.08.2015 - 08:30

*
Najwyższa ocena

Ja podałem podstawienia które sprowadzą tę całkę do całki z funkcji wymiernej

 

Oto moje próby obliczenia

 

\int{\sqrt{x+sqrt{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\t^2=x\\<br>\\2t\mbox{d}t=\mbox{d}x\\<br>\\\int{2t\sqrt{t^2+t}\mbox{d}t}\\<br>\\\sqrt{t^2+t}=u-t\\<br>\\t^2+t=u^2-2ut+t^2\\<br>\\t=u^2-2ut\\<br>\\2ut+t=u^2\\<br>\\t\left(2u+1\right)=u^2\\<br>\\t=\frac{u^2}{2u+1}\\<br>\\u-t=\frac{2u^2+u-u^2}{2u+1}=\frac{u^2+u}{2u+1}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{2u\left(2u+1\right)-2u^2}{\left(2u+1\right)^2}\mbox{d}u\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{2u^2+2u}{\left(2u+1\right)^2}\mbox{d}u\\<br>\\\int{\frac{2u^2}{2u+1}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}\cdot\frac{2u^2+2u}{\left(2u+1\right)^2}\mbox{d}u}\\<br>\\=\int{\frac{4u^2\left(u^2+u\right)^2}{\left(2u+1\right)^4}\mbox{d}u}\\<br>\\=\int{\frac{4u^6+8u^5+4u^4}{\left(2u+1\right)^4}\mbox{d}u}\\<br>\\4u^6+8u^5+4u^4-\frac{1}{4}u^2\left(16u^4+32u^3+24u^2+8u+1\right)=-2u^4-2u^3-\frac{1}{4}u^2\\<br>\\-2u^4-2u^3-\frac{1}{4}u^2-\left(-\frac{1}{8}\right)\left(16u^4+32u^3+24u^2+8u+1\right)=2u^3+\frac{11}{4}u^2+u+\frac{1}{8}\\<br>\\=\int{\left(\frac{1}{4}u^2-\frac{1}{8}\right)\mbox{d}u}+\int{\frac{2u^3+\frac{11}{4}u^2+u+\frac{1}{8}}{\left(2u+1\right)^4}\mbox{d}u}\\<br>\\=\int{\left(\frac{1}{4}u^2-\frac{1}{8}\right)\mbox{d}u}+\int{\frac{A}{2u+1}\mbox{d}u}+\int{\frac{B}{\left(2u+1\right)^2}\mbox{d}u}+\int{\frac{C}{\left(2u+1\right)^3}\mbox{d}u}+\int{\frac{D}{\left(2u+1\right)^4}\mbox{d}u}\\<br>\\A\left(2u+1\right)^3+B\left(2u+1\right)^2+C\left(2u+1\right)+D=2u^3+\frac{11}{4}u^2+u+\frac{1}{8}\\<br>\\A\left(8u^3+12u^2+6u+1\right)+B\left(4u^2+4u+1\right)+C\left(2u+1\right)+D=2u^3+\frac{11}{4}u^2+u+\frac{1}{8}\\<br>\\\begin{cases}8A=2\\12A+4B=\frac{11}{4}\\6A+4B+2C=1\\A+B+C+D=\frac{1}{8}\end{cases}\\<br>\\\begin{cases}A=\frac{1}{4}\\B=-\frac{1}{16}\\C=-\frac{1}{8}\\D=\frac{1}{16}\end{cases}\\</p>\\<p>=\int{\left(\frac{1}{4}u^2-\frac{1}{8}\right)\mbox{d}u}+\frac{1}{8}\int{\frac{2}{2u+1}\mbox{d}u}-\frac{1}{32}\int{\frac{2}{\left(2u+1\right)^2}\mbox{d}u}-\frac{1}{16}\int{\frac{2}{\left(2u+1\right)^3}\mbox{d}u}+\frac{1}{32}\int{\frac{2}{\left(2u+1\right)^4}\mbox{d}u}\\<br>\\=\frac{1}{12}u^3-\frac{1}{8}u+\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2u+1}+\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{\left(2u+1\right)^2}-\frac{1}{96}\cdot\frac{1}{\left(2u+1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C\\</p>\\<p>f^{\left(0\right)}=\frac{1}{12}u^3-\frac{1}{8}u\\</p>\\<p>f^{\left(1\right)}=\frac{1}{4}u^2-\frac{1}{8}\\</p>\\<p></p>\\<p>f^{\left(2\right)}=\frac{1}{2}u\\</p>\\<p>f^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\\</p>\\<p>f^{\left(0\right)}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{96}+\frac{1}{16}=\frac{5}{96}\\</p>\\<p>f^{\left(1\right)}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{16}\\</p>\\<p></p>\\<p>f^{\left(2\right)}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\\</p>\\<p>f^{\left(3\right)}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\\</p>\\<p>\frac{1}{12}u^3-\frac{1}{8}u=\frac{5}{96}-\frac{1}{16}\left(u+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{8}\left(u+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\left(u+\frac{1}{2}\right)^3\\</p>\\<p></p>\\<p>\frac{1}{12}u^3-\frac{1}{8}u=\frac{5}{96}-\frac{1}{32}\left(2u+1\right)-\frac{1}{32}\left(2u+1\right)^2+\frac{1}{96}\left(2u+1\right)^3\\</p>\\<p>=-\frac{1}{32}\left(2u+1\right)-\frac{1}{32}\left(2u+1\right)^2+\frac{1}{96}\left(2u+1\right)^3+\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2u+1}+\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{\left(2u+1\right)^2}-\frac{1}{96}\cdot\frac{1}{\left(2u+1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C_{1}\\<br>\\=-\frac{1}{32}\cdot\frac{\left(2u+1\right)^2-1}{\left(2u+1\right)}-\frac{1}{32}\cdot\frac{\left(2u+1\right)^4-1}{\left(2u+1\right)^2}+\frac{1}{96}\cdot\frac{\left(2u+1\right)^6-1}{\left(2u+1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=-\frac{1}{8}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{u^2+u}{\left(2u+1\right)}\cdot\frac{2u^2+2u+1}{2u+1}+\frac{1}{96}\frac{\left(\left(2u+1\right)^3+1\right)\left(\left(2u+1\right)^3-1\right)}{\left(2u+1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=-\frac{1}{8}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{u^2+u}{\left(2u+1\right)}\cdot\frac{2u^2+2u+1}{2u+1}+\frac{1}{24}\frac{\left(u+1\right)\left(4u^2+2u+1\right)\left(u\left(4u^2+6u+3\right)\right)}{\left(2u+1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=-\frac{1}{8}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{u^2+u}{\left(2u+1\right)}\cdot\frac{2u^2+2u+1}{2u+1}+\frac{1}{24}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}\cdot\frac{\left(4u^2+2u+1\right)\left(4u^2+6u+3\right)}{\left(2u+1\right)^2}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=-\frac{1}{8}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{u^2+u}{\left(2u+1\right)}\cdot\frac{2u^2+2u+1}{2u+1}+\frac{1}{24}\cdot\frac{u^2+u}{2u+1}\cdot\frac{4u^2+2u+1}{2u+1}\cdot\frac{4u^2+6u+3}{2u+1}+\frac{1}{8}\ln{\left|2u+1\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=-\frac{1}{8}\sqrt{t^2+t}-\frac{1}{4}\left(2t+1\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{24}\left(4t+1\right)\left(4t+3\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{8}\ln{\left|2t+1+2\sqrt{t^2+t}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=-\frac{1}{8}\sqrt{t^2+t}-\frac{1}{4}\left(2t+1\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{24}\left(16t^2+16t+3\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{8}\ln{\left|2t+1+2\sqrt{t^2+t}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=\frac{1}{24}\left(16t^2+16t+3-12t-6-3\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{8}\ln{\left|2t+1+2\sqrt{t^2+t}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=\frac{1}{24}\left(16t^2+4t-6\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{8}\ln{\left|2t+1+2\sqrt{t^2+t}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=\frac{1}{12}\left(8t^2+2t-3\right)\sqrt{t^2+t}+\frac{1}{8}\ln{\left|2t+1+2\sqrt{t^2+t}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>=\frac{1}{12}\left(8x+2\sqrt{x}-3\right)\sqrt{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{8}\ln{\left|2\sqrt{x}+1+2\sqrt{x+\sqrt{x}}\right|}+C_{1}\\<br>\\

 

\int{\sqrt{x+\sqrt{x}}\mbox{d}x}=\int{\sqrt{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{x^{\frac{1}{4}}\left(1+x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>m=\frac{1}{4}\\</p>\\<p>n=\frac{1}{2}\\</p>\\<p>p=\frac{1}{2}\\</p>\\<p>\frac{m+1}{n}=\frac{5}{4}\cdot 2=\frac{5}{2}\not \in \mathbb{Z}\\</p>\\<p>\frac{m+1}{n}+p=\frac{5}{4}\cdot 2+\frac{1}{2}=3 \in \mathbb{Z}\\</p>\\<p>t^2=1+\frac{1}{\sqrt{x}}\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 28.08.2015 - 22:12

  • 6

#5 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.08.2015 - 10:10

*
Najwyższa ocena

 to może jeszcze tak :

\re \int \sqrt{x+\sqrt{x}}dx=  \int \sqrt{x\(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\)}dx=\ \bl (*)\re =\int \sqrt{x}\cd \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\ dx\ , no to teraz  niech \ \bl \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}=t \ ;\ \frac{1}{\sqrt{x}}=t^2-1\ ;\

\bl \sqrt{x}= \frac{1}{t^2-1}\| , stąd  \frac{dx}{2\sqrt{x}}=\frac{-2tdt}{(t^2-1)^2} i dalej \ dx= 2\sqrt{x}\cd \frac{-2tdt}{(t^2-1)^2}\ ,  czyli \bl \ dx= \frac{-4t}{(t^2-1)^3}dt , w ten sposób  całka  \bl (*) przyjmie postać :

 \int \frac{1}{t^2-1}\cd t\cd \frac{-4t}{(t^2-1)^3}\ dt= \re -4\int \frac{t^2}{(t^2-1)^4}\ dt=\ i wystarczy - sprawa jasna, albo dalej

 =\ -4 \int \frac{t^2-1+1}{(t^2-1)^4}\ dt=\  -4\ \(\int \frac{t^2-1}{(t^2-1)^4}\ dt+ \int \frac{1}{(t^2-1)^4}\ dt\)= \re -4\ \(\int \frac{dt}{(t^2-1)^3}+ \int \frac{dt}{(t^2-1)^4}\) i może tyle ... :)


  • 3

#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.08.2015 - 19:43

*
Najwyższa ocena

\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}

 

R\left(t\right)=\left(t^2-1\right)^4\\</p>\\<p>R'\left(t\right)=4\left(t^2-1\right)^3\cdot 2t=8t\left(t^2-1\right)^3\\</p>\\<p>\gcd{\left(\left(t^2-1\right)^4,8t\left(t^2-1\right)^3\right)}=\left(t^2-1\right)^3</p>\\<p>

 

\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(t^2-1\right)^3}+\int{\frac{b_{1}t+b_{0}}{t^2-1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2-1\right)^3-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(t^2-1\right)^2\cdot 6t}{\left(t^2-1\right)^6}+\frac{b_{1}t+b_{0}}{t^2-1}\\</p>\\<p>\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2-1\right)-6t\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+\left(b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^2-1\right)^3}{\left(t^2-1\right)^4}\\</p>\\<p>-4t^2=\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2-1\right)-6t\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+\left(b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^6-3t^4+3t^2-1\right)\\</p>\\<p>-4t^2=\left(5a_{5}t^6+4a_{4}t^5+3a_{3}t^4+2a_{2}t^3+a_{1}t^2-5a_{5}t^4-4a_{4}t^3-3a_{3}t^2-2a_{2}t-a_{1}\right)-\left(6a_{5}t^6+6a_{4}t^5+6a_{3}t^4+6a_{2}t^3+6a_{1}t^2+6a_{0}t\right)</p>\\<p>+\left(b_{1}t^7-3b_{1}t^5+3b_{1}t^3-b_{1}t+b_{0}t^6-3b_{0}t^4+3b_{0}t^2-b_{0}\right)\\</p>\\<p>-4t^2=b_{1}t^{7}+\left(b_{0}-a_{5}\right)t^6+\left(-3b_{1}-2a_{4}\right)t^5+\left(-3b_{0}-3a_{3}-5a_{5}\right)t^4+\left(3b_{1}-4a_{2}-4a_{4}\right)t^3+\left(3b_{0}-5a_{1}-3a_{3}\right)t^2<br>\\+\left(-b_{1}-2a_{2}-6a_{0}\right)t+\left(-b_{0}-a_{1}\right)\\</p>\\<p>

 

\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}-a_{5}=0\\-3b_{1}-2a_{4}=0\\-3b_{0}-3a_{3}-5a_{5}=0\\3b_{1}-4a_{2}-4a_{4}=0\\3b_{0}-5a_{1}-3a_{3}=-4\\-b_{1}-2a_{2}-6a_{0}=0\\-b_{0}-a_{1}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{5}\\a_{4}=0\\-3a_{3}-8a_{5}=0\\a_{2}=0\\-8a_{1}-3a_{3}=-4\\-b_{1}-2a_{2}-6a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{5}\\a_{4}=0\\-3a_{3}+8a_{1}=0\\a_{2}=0\\-8a_{1}-3a_{3}=-4\\a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{5}\\a_{4}=0\\8a_{1}=3a_{3}\\a_{2}=0\\3a_{3}=2\\a_{0}=0\\a_{5}=-a_{1}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\4b_{0}=-1\\a_{4}=0\\4a_{1}=1\\a_{2}=0\\3a_{3}=2\\a_{0}=0\\4a_{5}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>

 

 

\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{-\frac{1}{4}t^5+\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{4}t}{\left(t^2-1\right)^3}-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}=\int{\frac{A}{t-1}\mbox{d}t}+\int{\frac{B}{t+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\frac{1}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}=A\left(t-1\right)+B\left(t+1\right)\\</p>\\<p>\begin{cases}A+B=0\\A-B=-\frac{1}{4}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}B=-A\\2A=-\frac{1}{4}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}B=-A\\A=-\frac{1}{8}\end{cases}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}=-\frac{1}{8}\int{\frac{1}{t-1}\mbox{d}t}+\frac{1}{8}\int{\frac{1}{t+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}=\frac{1}{8}\ln{\left|\frac{t+1}{t-1}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{-\frac{1}{4}t^5+\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{4}t}{\left(t^2-1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|\frac{t+1}{t-1}\right|}+C\\</p>\\<p>

 


  • 6