Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Całkowanie i rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste

Całka funkcji wymiernej Ułamki proste Całka Rozkład na ułamki proste

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3330 postów
2934
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.08.2015 - 20:03

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

 

f(x)=\frac{108x^5-108x^4-261x^3+86x^2+228x+72}{16x^4-160x^3+600x^2-1000x+625}=\frac{\left(3x+2\right)^3\left(2x-3\right)^2}{\left(2x-5\right)^4}

 

g(x)=\frac{3x^3+5x^2-\sqrt{3}x-7}{x^4-2x+1092}

 

Ułamek wymierny niewłaściwy - wyrażenie wymierne w którym stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy stopniowi wielomianu w mianowniku (taką sytuacje mamy w przypadku funkcji f(x)).

 

Ułamki proste - składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika

 

Wyróżniamy następujące typy ułamków prostych - jest ich aż dwa (w ciele liczb rzeczywistych):

 

  • \frac{A}{(x-b)^n}\,\quad \, n\geq 1
  • \frac{Bx+C}{(x^2+ex+f)^n}\,\quad \, gdzie delta trójmianu kwadratowego jest ujemna - czyli nie można jej bardziej rozłożyć

 

Każdą funkcję wymierną w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszych od stopnia wielomianu w mianowniku można przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych.

 

Przedstawienie takiej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.

 

Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku (ułamek niewłaściwy), należy wykonać dzielenie tych wielomianów, przez co uzyskamy pożądane funkcję wymierną do rozkładu na ułamki proste.

 

Reasumując każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę pewnego wielomianu i skończonej liczby ułamków prostych.

 

Całkowanie ułamków prostych

 

1a) \int \frac{A}{x-b}=\[x-a=t\\dt=dx\] = A\int\frac{dt}{t}=A\cdot ln|t|+C=A\cdot ln|x-a|+C

 

1b) \int \frac{A}{(x-b)^n}=\[x-a=t\\dt=dx\] = A\int\frac{dt}{t^n}=A\cdot \frac{-1}{(n-1)\cdot t^{n-1}}+C=\frac{-A}{(n-1)\cdot (x-a)^{n-1}}+C

 

2a) \frac{Bx+C}{x^2+ex+f}

 

Zapisujemy mianownik w postaci kanonicznej (x-p)^2+q następnie dzielimy przez q by otrzymać coś +1 po czym podstawiamy

\(\frac{x-p}{\sqrt{q}}\)=t

 

\int\frac{Bx+C}{x^2+ex+f}dx=H\cdot \int\frac{Bx+C}{t^2+1}dt=H\cdot \int\frac{Bx}{t^2+1}dt+H\cdot \int\frac{C}{t^2+1}dt gdzie H to powstały wspłczynnik

 

Całki te dadzą nam następujący wynik

 

H\cdot \int\frac{Bx}{t^2+1}dt=J\cdot ln|t^2+1|+C

 

H\cdot \int\frac{C}{t^2+1}dt=K\cdot arctg (t)+C                   J,K - pewne powstałe współczynniki

 

Uprościłem powyższy zapis, ale jeśli ktoś chce dokładniej to wygląda to następująco (żeby się nie myliło zmienię oznaczenia):

 

\int \frac{Mx+N}{x^2+ex+f}dx

 

ze wzoru skróconego mnożenia:

 

x^2+ex+f=x^2+2\cdot \frac{e}{2}x+\(\frac{e}{2}\)^2+\(f-\frac{e^2}{4}\)=\(x+\frac{e}{2}\)^2+\(f-\frac{e^2}{4}\)

 

wykorzystując podstawienie

 

x+\frac{e}{2}=u       dx=du

 

mamy

 

x^2+ex+f=u^2+a^2           gdzie a=\sqrt{f-\frac{e^2}{4}}             a           Mx+N=Mu+\(N-\frac{Me}{2}\)

 

czyli

 

\int \frac{Mx+N}{x^2+ex+f}dx=\int \frac{Mu+\(N-\frac{Me}{2}\)}{u^2+a^2}du=\frac{M}{2}\int \frac{2u\, du}{u^2+a^2}+\(N-\frac{Me}{2}\)\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{M}{2}ln|u^2+a^2|+\frac{1}{a}\cdot \(N-\frac{Me}{2}\) arctg \(\frac{u}{a}\)+C

 

a wracając do zmiennej x mamy

 

\int \frac{Mx+N}{x^2+ex+f}dx=\frac{M}{2}ln|x^2+ex+f|+\frac{2N-Mu}{\sqrt{4f-e^2}}arctg\(\frac{2x+e}{\sqrt{4f-e^2}}\)+C

 

Wzór może wygląda skompilowanie ale w praktyce wszystko wygląda prościej.

 

2b) \frac{Bx+C}{(x^2+ex+f)^n} wykonujemy identyczne podstawienie więc mamy

 

\int \frac{Mx+N}{x^2+ex+f}dx=\int \frac{Mu+\(N-\frac{Me}{2}\)}{(u^2+a^2)^n}du=\frac{M}{2}\int \frac{2u\, du}{(u^2+a^2)^n}+\(N-\frac{Me}{2}\)\int \frac{du}{(u^2+a^2)^n}

 

i teraz

 

pierwsza całka rozwiążemy podstawiając u^2+a^2=t   więc 2u\, du=dt

 

\frac{M}{2}\int \frac{2u\, du}{(u^2+a^2)^n}=\frac{M}{2}\int \frac{dt}{t^n}=\frac{M}{2}\cdot \(-\frac{1}{(n-1)\cdot t^{n-1}}\)+C=\frac{M}{2}\cdot \(-\frac{1}{(n-1)\cdot (u^2+a^2)^{n-1}}\)+C

 

drugą całkę obliczamy, że wzoru rekurencyjnego

 

 

Jeśli mianownik posiada ułamki wielokrotne 1b),2b) wygodnie jest użyć metody Ostrogradskiego.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.08.2015 - 19:10

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3330 postów
2934
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.08.2015 - 09:41

\int\frac{x^4-3}{x^3+x}dx

 

Stopień wielomianu w liczniku większy od stopnia wielomianu w mianowniku więc je dzielimy (lub wyłączamy całości - w tym przypadku to wielomian w(x)=x )

 

f(x)=\frac{x^4-3}{x^3+x}=\frac{x(x^3+x)-x^2-3 }{x^3+x}= x-\frac{x^2+3 }{x^3+x}=x-\frac{x^2+3 }{x(x^2+1)}

 

Ułamek właściwy pozakładamy na ułamki proste. Sprowadzamy do wspólnego mianownika dodajemy a następnie porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach.

 

\frac{x^2+3 }{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}

 

x^2+3=Ax^2+A+Bx^2+Cx

 

x^2+3=x^2(A+B)+Cx+A

 

\\{A+B=1\\C=0\\A=3

 

\{A=3\\B=-2\\C=0

 

czyli

 

x-(\frac{3}{x}+\frac{-2x}{x^2+1})= x-\frac{3}{x}+\frac{2x}{x^2+1}

 

Teraz przystępujemy do całkowania

 

\int \frac{x^4-3}{x^3+x}dx=\int \(x-\frac{3}{x}+\frac{2x}{x^2+1}\)dx=\frac{x^2}{2}-3ln|x|+ln|x^2+1|+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 18.08.2015 - 10:30

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3330 postów
2934
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.08.2015 - 10:07

\int \frac{x^2-3x+3}{(x+2)(x^2+3)}dx

 

\frac{x^2-3x+3}{(x+2)(x^2+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+3}

 

x^2-3x+3=A(x^2+3)+(Bx+C)(x+2)

 

x^2-3x+3=Ax^2+3A+Bx^2+Cx+2Bx+2C

 

\{A+B=1\\C+2B=-3\\3A+2C=3

 

więc

 

\{A=\frac{13}{7}\\B=\frac{-6}{7}\\C=\frac{-9}{7}

 

Czyli

 

\int \frac{x^2-3x+3}{(x+2)(x^2+3)}dx=\frac{13}{7}\int \frac{dx}{x+2}+\int\frac{-\frac{6}{7}x-\frac{9}{7}}{x^2+3}dx=\frac{13}{7}\int \frac{dx}{x+2}-\int\frac{6x+9}{7x^2+21}dx=\frac{13}{7}\int \frac{dx}{x+2}-\frac{3}{7}\int\frac{2x+3}{x^2+3}dx=\frac{13}{7}\int \frac{dx}{x+2}-\frac{3}{7}\int\frac{2x}{x^2+3}dx-\frac{3}{7}\int\frac{3}{x^2+3}dx

 

=\frac{13}{7}ln|x+2|-\frac{3}{7}ln|x^2+3|-\frac{3\sqrt{3}}{7}arctg\(\frac{\sqrt{3}}{3}x\)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 18.08.2015 - 10:31

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3330 postów
2934
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.08.2015 - 10:29

\int \frac{2x ^{2}}{(x-0,5)^{2}}dx

 

Teraz może taki ciekawy przykład w którym niejako zmienimy funkcję - pozbędziemy się ułamka, można też zostawić jak jest

 

\frac{2x ^{2}}{(x-0,5)^{2}}=\frac{2x^2}{x^2-x+\frac{1}{4}}=\frac{8x^2}{4x^2-4x+1}=2+\frac{8x-2}{(2x-1)^2}

 

Ponieważ pojawił się pierwiastek wielokrotny to w rozkładzie musimy do rozpatrzeć w każdej potędze

 

\frac{8x-2}{(2x-1)^2}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{(2x-1)^2}

 

8x-2=(2x-1) A+B

 

8x-2 = 2xA - A + B

 

\{-2 = B - A\\8=2A

 

\{A=4\\B=2

 

\frac{2x ^{2}}{(x-0,5)^{2}}=2+\frac{4}{2x-1}+\frac{2}{(2x-1)^2}

 

\int \frac{2x ^{2}}{(x-0,5)^{2}}dx=\int \(2+\frac{4}{2x-1}+\frac{2}{(2x-1)^2}\)dx=\int 2dx+2\int\frac{2}{2x-1}+\int\frac{2}{(2x-1)^2}dx=2x+2ln|2x-1|-\frac{1}{2x-1}+C


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską