Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Całkowanie metodą Ostrogradskiego 2

Całka wymierna Całka Ostrogradskiego Podstawienie Całka przez części Całka

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.08.2015 - 12:24

Generalnie jeśli mamy całkę

 

\int \frac{W_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx

gdzie:

W_{n}(x) jest wielomianem stopnia n, a A - to pewna stała
to możemy ją policzyć używając wzoru Ostrogradskiego, będącego punktem wyjścia do zastosowania metody współczynników nieoznaczonych.

Wzór wygląda następująco:

\int \frac{W_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx= W_{n-1}(x)\cdot \sqrt{ax^2+bx+c} + A \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}

 

Dzięki metodzie współczynników nieoznaczonych możemy w tym przypadku na wyznaczeniu postaci wielomianu W_{n-1} oraz stałej A.

 

Nie zawsze jednak mamy takie "ładne" funkcje  :thumbsdown:

 

W tym temacie przedstawimy kilka całek, które można sprowadzić do postaci w której możemy użyć metody Ostrogradskiego a tym samym uprościć obliczenia

 

1)\,\int{\frac{\mbox{d}x}{x^2\left(4x^2-3\right)^2\sqrt{x^2-1}}}

 

2)\, \int{\frac{\mbox{d}x}{x^3\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}}

 

3)\, \int{\frac{11x^4-195x^2}{\sqrt{x^2+6x+5}}\mbox{d}x}

 

4)\, \int{\frac{1}{\left(x-2\right)^3\sqrt{3x^2-8x+5}}\mbox{d}x}

 

5)\, \int{\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}\mbox{d}x}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2015 - 17:21

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.08.2015 - 01:38

1)\,\int{\frac{\mbox{d}x}{x^2\left(4x^2-3\right)^2\sqrt{x^2-1}}}

 

Można podejść tak:

 

podstawić x=\frac{1}{cos(t)}=sec(t)             więc            dx=\frac{\sin \left(t\right)}{\cos ^2\left(t\right)}=tg(t)\cdot sec(t) dt

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{x^2\left(4x^2-3\right)^2\sqrt{x^2-1}}}=\int{\frac{tg(t)\cdot sec(t) dt}{sec^2(t)\left(4sec^2(t)-3\right)^2\sqrt{sec^2(t)-1}}}

 

ale \sqrt{sec^2(t)-1}=tg(t)  więc

 

\int\frac{tg(t)\cdot sec(t) dt}{sec^2(t)\left(4sec^2(t)-3\right)^2\sqrt{sec^2(t)-1}}=\int\frac{tg(t)\cdot sec(t) dt}{sec^2(t)\left(4sec^2(t)-3\right)^2\cdot tg(t)}=\int\frac{sec(t) dt}{sec^2(t)\left(4sec^2(t)-3\right)^2}=\int\frac{dt}{sec(t)\left(4sec^2(t)-3\right)^2}=\int\frac{cos(t) dt}{\left(4sec^2(t)-3\right)^2}

 

teraz może wzór skróconego mnożenia i mnożymy licznik i mianownik przez cos^4(t)

 

\int\frac{cos(t) dt}{\left(4sec^2(t)-3\right)^2}=\int\frac{cos(t) dt}{16sec^4(t)-24sec^2(t)+9}=\int\frac{cos^5(t)}{16-24cos^2(t)+9cos^4(t)}dt=\int\frac{cos^5(t)}{(4-3cos^2(t))^2}dt

 

Korzystając z jedynki trygonometrycznej  cos^2(t)=1-sin^2(t)

 

\int\frac{cos^5(t)}{(4-3cos^2(t))^2}dt=\int\frac{(1-sin^2(t))^2\cdot cos(t)}{(1+3sin^2(t))^2}dt

 

i podstawienie  sin(t)=u              cos(t)dt=du

 

\int\frac{(1-u^2)^2}{(1+3u^2)^2}du=\int\( \frac{4}{3(3u^2+1)^2}-\frac{1}{3(3u^2+1)}\)du

 

i patrz podejście

 

\int \frac{4}{3 \left(3 u^{2} + 1\right)^{2}} d u = \frac{2 u}{3 (u^{2} +1)} + \frac{2 \sqrt{3}}{9} arctg(\sqrt{3} u)+C

 

\int\frac{1}{9 u^{2} + 3} d u = \frac{\sqrt{3}}{9} arctg(\sqrt{3} u)+C

 

Otrzymana w taki sposób funkcja będzie jednak raczej z tych "kosmicznych" tj. po powróceniu do pierwotnych zmiennych otrzymamy dość zawiłą funkcję

 

Użycie podstawień Eulera a następnie sposobu Ostrogradskiego pozwala otrzymać dużo przyjemniejszy wynik.


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.08.2015 - 00:18

\int \frac{dx}{x^2\left(4x^2-3\right)^2\sqrt{x^2-1}}

podstawienie Eulera (III)

 

\sqrt{x^2-1}=\left(x-1\right)t

x^2-1=\left(x-1\right)^2t^2

\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(x-1\right)^2t^2

\left(x+1\right)=\left(x-1\right)t^2

x+1=xt^2-t^2

t^2+1=xt^2-x

t^2+1=x\left(t^2-1\right)

x=\frac{t^2+1}{t^2-1}=\frac{t^2-1+2}{t^2-1}=1+\frac{2}{t^2-1}

\left(x-1\right)t=\frac{2t}{t^2-1}

dx=2\left(-1\right)\left(t^2-1\right)^{-2}\cdot 2t\, dt=\frac{-4t}{\left(t^2-1\right)^2}dt                      i teraz

 

4x^2-3=\left(\frac{4\left(t^2+1\right)^2-3\left(t^2-1\right)^2}{\left(t^2-1\right)^2}\right)

4x^2-3=\left(\frac{4\left(t^4+2t^2+1\right)-3\left(t^4-2t^2+1\right)}{\left(t^2-1\right)^2}\right)

4x^2-3=\left(\frac{t^4+14t^2+1}{\left(t^2-1\right)^2}\right)

\int \frac{\left(t^2-1\right)^2}{\left(t^2+1\right)^2}\cdot\frac{\left(t^2-1\right)^4}{\left(t^4+14t^2+1\right)^2}\cdot\frac{t^2-1}{2t}\cdot\frac{\left(-4t\right)}{\left(t^2-1\right)^2}dt=\int\frac{-2\left(t^2-1\right)^5}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}dt

 

Teraz przechodzimy do metody Ostrogradskiego

R(x)=\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2

R'(x)=4t\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)^2+\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)\left(8t^3+56t\right)=\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)\left(4t\left(t^4+14t^2+1\right)+\left(8t^3+56t\right)\left(t^2+1\right)\right)

R'\left(x\right)=\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)\left(\left(4t^5+56t^3+4t\right)+\left(8t^5+64t^3+56t\right)\right)=\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)\left(12t^5+120t^3+60t\right)

NWD(R(x),R'(x))=NWD\(\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2,\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)\left(12t^5+120t^3+60t\right)\)=\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)

 

więc

\int\frac{-2\left(t^2-1\right)^5}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}dt=\frac{a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)}+\int\frac{b_{5}t^5+b_{4}t^4+b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}}{\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)}dt

\frac{-2\left(t^2-1\right)^5}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^6+15t^4+15t^2+1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(6t^5+60t^3+30t\right)}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}+\frac{b_{5}t^5+b_{4}t^4+b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}}{\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)}

\frac{-2\left(t^2-1\right)^5}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^6+15t^4+15t^2+1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(6t^5+60t^3+30t\right)+\left(b_{5}t^5+b_{4}t^4+b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^6+15t^4+15t^2+1\right)}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}

-2\left(t^2-1\right)^5=\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^6+15t^4+15t^2+1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(6t^5+60t^3+30t\right)+\left(b_{5}t^5+b_{4}t^4+b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^6+15t^4+15t^2+1\right)
 

-2t^{10}+10t^{8}-20t^{6}+20t^{4}-10t^{2}+2=\\ \left(5a_{5}t^{10}+4a_{4}t^9+3a_{3}t^8+2a_{2}t^7+a_{1}t^6+75a_{5}t^{8}+60a_{4}t^7+45a_{3}t^6+30a_{2}t^5+15a_{1}t^4+75a_{5}t^{6}+60a_{4}t^5+45a_{3}t^4+30a_{2}t^3+15a_{1}t^2+5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)
-\left(6a_{5}t^{10}+6a_{4}t^9+6a_{3}t^8+6a_{2}t^7+6a_{1}t^6+6a_{0}t^5+60a_{5}t^{8}+60a_{4}t^7+60a_{3}t^6+60a_{2}t^5+60a_{1}t^4+60a_{0}t^3+30a_{5}t^{6}+30a_{4}t^5+30a_{3}t^4+30a_{2}t^3+30a_{1}t^2+30a_{0}t\right)
+\left(b_{5}t^{11}+15b_{5}t^9+15b_{5}t^7+b_{5}t^5+b_{4}t^{10}+15b_{4}t^8+15b_{4}t^6+b_{4}t^4+b_{3}t^9+15b_{3}t^7+15b_{3}t^5+b_{3}t^3+b_{2}t^8+15b_{2}t^6+15b_{2}t^4+b_{2}t^2+b_{1}t^7+15b_{1}t^5+15b_{1}t^3+b_{1}t+b_{0}t^6+15b_{0}t^4+15b_{0}t^2+b_{0}\right)
-2t^{10}+10t^{8}-20t^{6}+20t^{4}-10t^{2}+2=b_{5}t^{11}+\left(b_{4}-a_{5}\right)t^{10}+\left(15b_{5}+b_{3}-2a_{4}\right)t^{9}+\left(15b_{4}+b_{2}+15a_{5}-3a_{3}\right)t^{8}+\left(15b_{5}+15b_{3}+b_{1}-4a_{2}\right)t^{7}+\left(15b_{4}+15b_{2}+b_{0}+45a_{5}-15a_{3}-5a_{1}\right)t^{6}
+\left(b_{5}+15b_{3}+15b_{1}+30a_{4}-30a_{2}-6a_{0}\right)t^5+\left(b_{4}+15b_{2}+15b_{0}+5a_{5}+15a_{3}-45a_{1}\right)t^4+\left(b_{3}+15b_{1}+4a_{4}-60a_{0}\right)t^3+\left(b_{2}+15b_{0}+3a_{3}-15a_{1}\right)t^{2}+\left(b_{1}+2a_{2}-30a_{0}\right)t+\left(b_{0}+a_{1}\right)

\{b_{5}=0\\b_{4}-a_{5}=-2\\15b_{5}+b_{3}-2a_{4}=0\\15b_{4}+b_{2}+15a_{5}-3a_{3}=10\\15b_{5}+15b_{3}+b_{1}-4a_{2}=0\\15b_{4}+15b_{2}+b_{0}+45a_{5}-15a_{3}-5a_{1}=-20\\b_{5}+15b_{3}+15b_{1}+30a_{4}-30a_{2}-6a_{0}=0\\b_{4}+15b_{2}+15b_{0}+5a_{5}+15a_{3}-45a_{1}=20\\b_{3}+15b_{1}+4a_{4}-60a_{0}=0\\b_{2}+15b_{0}+3a_{3}-15a_{1}=-10\\b_{1}+2a_{2}-30a_{0}=0\\b_{0}+a_{1}=2

 

\{a_1=2\\a_2=0\\a_3=\frac{20}{3}\\a_4=0\\a_5=2\\a_0=0\\b_1=0\\b_2=0\\b_3=0\\b_4=0\\b_5=0\\b_6=0

 

\int\frac{-2\left(t^2-1\right)^5}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^4+14t^2+1\right)^2}dt=\frac{2t^5+\frac{20}{3}t^3+2t}{\left(t^2+1\right)\left(t^4+14t^2+1\right)}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 17.08.2015 - 12:01

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.08.2015 - 23:05

2)\,\int{\frac{\mbox{d}x}{x^3\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}}

 

Podstawienie Eulera (I)

 

\sqrt{x^2-1}=t-x\\</p>\\<p>x^2-1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>-1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2+1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>t-x=\frac{2t^2-t^2-1}{2t}=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2+1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2-1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{8t^3}{\left(t^2+1\right)^3}\cdot \frac{8t^3}{\left(t^2-1\right)^3}\cdot \frac{\left(t^2-1\right)}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\cdot\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>

 

Teraz metoda Ostrogradskiego

 

</p>\\<p>\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>R\left(x\right)=\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=3\left(t^2+1\right)^2\cdot 2t\left(t^2-1\right)^2+\left(t^2+1\right)^3\cdot 2\left(t^2-1\right)\cdot 2t=6t\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)^2+4t\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)\left(6t^3-6t+4t^3+4t\right)=\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)\left(10t^3-2t\right)\\</p>\\<p>\gcd{\left(\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2,\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)\left(10t^3-2t\right)\right)}=\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)\\</p>\\<p>

 

</p>\\<p>\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}=\frac{a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)}+\int{\frac{b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}}{\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(4t\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)+2t\left(t^2+1\right)^2\right)}{\left(t^2+1\right)^4\left(t^2-1\right)^2}+\frac{b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}}{\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}\\</p>\\<p>\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(t^2+1\right)\left(6t^3-2t\right)}{\left(t^2+1\right)^4\left(t^2-1\right)^2}+\frac{b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}}{\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}\\</p>\\<p>\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(6t^3-2t\right)+\left(b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\\</p>\\<p>32t^4=\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^4-1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(6t^3-2t\right)+\left(b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^4-1\right)\left(t^2+1\right)\\</p>\\<p>32t^4=\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^4-1\right)-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(6t^3-2t\right)+\left(b_{3}t^3+b_{2}t^2+b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^6+t^4-t^2-1\right)\\</p>\\<p>32t^4=\left(5a_{5}t^8+4a_{4}t^7+3a_{3}t^6+2a_{2}t^5+a_{1}t^4-5a_{5}t^4-4a_{4}t^3-3a_{3}t^2-2a_{2}t-a_{1}\right)<br>\\-\left(6a_{5}t^8+6a_{4}t^7+6a_{3}t^6+6a_{2}t^5+6a_{1}t^4+6a_{0}t^3-2a_{5}t^6-2a_{4}t^5-2a_{3}t^4-2a_{2}t^3-2a_{1}t^2-2a_{0}t\right)<br>\\+\left(b_{3}t^9+b_{2}t^8+b_{1}t^7+b_{0}t^6+b_{3}t^7+b_{2}t^6+b_{1}t^5+b_{0}t^4-b_{3}t^5-b_{2}t^4-b_{1}t^3-b_{0}t^2-b_{3}t^3-b_{2}t^2-b_{1}t-b_{0}\right)\\</p>\\<p>32t^4=b_{3}t^9+\left(b_{2}-a_{5}\right)t^8+\left(b_{3}+b_{1}-2a_{4}\right)t^7+\left(b_{2}+b_{0}+2a_{5}-3a_{3}\right)t^6+\left(-b_{3}+b_{1}+2a_{4}-4a_{2}\right)t^5</p>\\<p>+\left(-b_{2}+b_{0}-5a_{5}+2a_{3}-5a_{1}\right)t^4+\left(-b_{3}-b_{1}-4a_{4}+2a_{2}-6a_{0}\right)t^3+\left(-b_{2}-b_{0}-3a_{3}+2a_{1}\right)t^2+<br>\\\left(-b_{1}-2a_{2}+2a_{0}\right)t+\left(-b_{0}-a_{1}\right)</p>\\<p>

 

<br>\\\{b_{3}=0\\b_{2}-a_{5}=0\\b_{3}+b_{1}-2a_{4}=0\\b_{2}+b_{0}+2a_{5}-3a_{3}=0\\-b_{3}+b_{1}+2a_{4}-4a_{2}=0\\-b_{2}+b_{0}-5a_{5}+2a_{3}-5a_{1}=32\\-b_{3}-b_{1}-4a_{4}+2a_{2}-6a_{0}=0\\-b_{2}-b_{0}-3a_{3}+2a_{1}=0\\-b_{1}-2a_{2}+2a_{0}=0\\-b_{0}-a_{1}=0<br>\\\Rightarrow \{b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\b_{2}+b_{0}+2a_{5}-3a_{3}=0\\b_{1}+2a_{4}-4a_{2}=0\\-b_{2}+b_{0}-5a_{5}+2a_{3}-5a_{1}=32\\-b_{1}-4a_{4}+2a_{2}-6a_{0}=0\\-b_{2}-b_{0}-3a_{3}+2a_{1}=0\\-b_{1}-2a_{2}+2a_{0}=0\\-b_{0}-a_{1}=0\Rightarrow \{b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\b_{0}+3a_{5}-3a_{3}=0\\4a_{4}-4a_{2}=0\\b_{0}-6a_{5}+2a_{3}-5a_{1}=32\\-6a_{4}+2a_{2}-6a_{0}=0\\-a_{5}-b_{0}-3a_{3}+2a_{1}=0\\-2a_{4}-2a_{2}+2a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}

 

\{b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\3a_{5}-3a_{3}-a_{1}=0\\a_{4}=a_{2}\\-6a_{5}+2a_{3}-6a_{1}=32\\-4a_{2}=6a_{0}\\-a_{5}-3a_{3}+3a_{1}=0\\a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}\Rightarrow \{b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\-3a_{3}+2a_{1}=0\\a_{4}=a_{2}\\20a_{3}-12\cdot\left(2a_{1}\right)=32\\-4a_{2}=6a_{0}\\a_{5}=-3a_{3}+3a_{1}\\a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}\Rightarrow \{b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\2a_{1}=3a_{3}\\a_{4}=a_{2}\\-16a_{3}=32\\-4a_{2}=6a_{0}\\a_{5}=-3a_{3}+3a_{1}\\a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}

 

\{a_{0}=0\\a_{1}=-3\\a_{2}=0\\a_{3}=-2\\a_{4}=0\\a_{5}=-3\\b_{0}=3\\b_{1}=0\\b_{2}=-3\\b_{3}=0

 

\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}=\frac{-3t^5-2t^3-3t}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)}+\int{\frac{-3t^2+3}{\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}=\frac{-3t^5-2t^3-3t}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)}+\int{\frac{-3\left(t^2-1\right)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}=\frac{-3t^5-2t^3-3t}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)}-3\int{\frac{1}{\left(t^2+1\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{32t^4}{\left(t^2+1\right)^3\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}=\frac{-3t^5-2t^3-3t}{\left(t^2+1\right)^2\left(t^2-1\right)}-3\arctan{\left(t\right)}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 18.08.2015 - 17:26

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.08.2015 - 10:38

3)\, \int{\frac{11x^4-195x^2}{\sqrt{x^2+6x+5}}\mbox{d}x}

 

Zastosuję I podstawienie Eulera

 

\sqrt{x^2+6x+5}=t-x

 

x=\frac{t^2-5}{6+2t}

 

więc t-x=\frac{t^2+6t+5}{6+2t}

 

dx=\frac{2(t^2+6+5)}{(6+2t)^2}dt

 

\int \frac{11x^4-195x^2}{\sqrt{x^2+6x+5}}dx=\int\frac{11\(\frac{t^2-5}{6+2t}\)^4-195\(\frac{t^2-5}{6+2t}\)^2}{\frac{t^2+6t+5}{6+2t}}\cdot \frac{2(t^2+6t+5)}{(6+2t)^2}dt=\int\frac{22\(\frac{t^2-5}{6+2t}\)^4-390\(\frac{t^2-5}{6+2t}\)^2}{\frac{(6+2t)^2}{6+2t}}dt=\int\frac{22\(\frac{t^2-5}{6+2t}\)^4-390\(\frac{t^2-5}{6+2t}\)^2}{6+2t}dt

 

\int\frac{\frac{22(t^2-5)^4}{(6+2t)^4}-\frac{390(t^2-5)^2}{(6+2t)^2}}{6+2t}dt=\int \frac{22(t^2-5)^4-390(t^2-5)^2(6+2t)^2}{(6+2t)^5}dt

 

=\int\frac{1}{16}\frac{(t^2-5)^2\cdot \(11t^4-890t^2-4680t-6745\)}{(3+t)^5}dx=\int \frac{11t^3}{16}-\frac{165t^2}{16}+\frac{485t}{16}-\frac{75}{16}-\frac{828}{(t+3)^2}+\frac{1772}{(t+3)^3}-\frac{1056}{(t+3)^4}+\frac{176}{(t+3)^5}

 

albo

 

\int \frac{22(t^2-5)^4-390(t^2-5)^2(6+2t)^2}{(6+2t)^5}dt=22\int \frac{(t^2-5)^4}{(6+2t)^5}dt-390\int \frac{(t^2-5)^2}{(6+2t)^3}dt=\frac{22}{32}\int \frac{(t^2-5)^4}{(3+t)^5}dt-\frac{390}{8}\int \frac{(t^2-5)^2}{(3+t)^3}dt

 

i mamy dwie całki które możemy rozwiązać metodą Ostrogradskiego.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.08.2015 - 13:50

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2015 - 01:16

5)\, \int\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}dx

 

\int\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}dx=\int\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{(x+1)^2+1}}dx

 

Podstawienie             x+1=t     dx=dt

 

\int\frac{1}{t^3\sqrt{t^2+1}}dt

 

Teraz robimy podstawienie            u=t^2           du=2tdt               dt=\frac{1}{2t}du

 

\int\frac{1}{t^3\sqrt{t^2+1}}dt=\int \frac{1}{t^3\sqrt{u+1}}\frac{1}{2t}du=\int \frac{1}{2t^4\sqrt{u+1}}du=\int \frac{1}{2u^2\sqrt{u+1}}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2\sqrt{u+1}}du

 

I jeszcze jedno podstawienie

 

v=\sqrt{u+1}:\quad \quad dv=\frac{1}{2\sqrt{u+1}}du            czyli          dv=\frac{1}{2v}du,\:\quad \:du=2vdv        oraz      u=v^2-1

 

=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2\sqrt{u+1}}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^2v}2vdv=\frac{1}{2}\int \frac{2}{u^2}dv=\frac{1}{2}\int \frac{2}{\left(v^2-1\right)^2}dv=\int \frac{1}{\left(v^2-1\right)^2}dv

 

Całkę tą możemy rozłożyć na ułamki proste lub wykorzystać metodę Ostrogradskiego

 

\int \frac{1}{\left(v^2-1\right)^2}dv=\int \(\frac{1}{4\left(v+1\right)}+\frac{1}{4\left(v+1\right)^2}-\frac{1}{4\left(v-1\right)}+\frac{1}{4\left(v-1\right)^2}\)dv

 

a to już łatwe, choć jak się wróci do pierwotnej zmiennej to wychodzi zagmatwana funkcja.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.08.2015 - 22:23

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2015 - 01:27

5)\, \int\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}dx   wersja trygonometryczna

 

\int\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}dx=\int\frac{1}{\left(x+1\right)^3\sqrt{(x+1)^2+1}}dx

 

Podstawienie             x+1=t     dx=dt

 

\int\frac{1}{t^3\sqrt{t^2+1}}dt

 

Teraz podstawienie trygonometryczne t=tg(w)               dt=\frac{1}{cos^2(w)}dw=sec^2(w)dw

 

\int\frac{1}{t^3\sqrt{t^2+1}}dt=\int\frac{1}{tg^3(w)\sqrt{tg^2(w)+1}}\cdot \frac{1}{cos^2(w)}dw=\int\frac{1}{tg^3(w)\sqrt{sec^2(w)}}\cdot \frac{1}{cos^2(w)}dw=\int\frac{sec^2(w)dw}{tg^3(w)sec(w)}=\int\frac{sec(w)dw}{tg^3(w)}

 

\int\frac{sec(w)dw}{tg^3(w)}=\int ctg^2(w)\cdot \frac{1}{sin(w)}dw=\int \frac{\cos ^2\left(w\right)}{\sin ^3\left(w\right)}dw

 

Teraz podstawienie trygonometryczne - Najulubieńsze :whistle:

 

u=\tan \left(\frac{w}{2}\right)      więc     dw=\frac{2}{1+u^2}du,\:\sin \left(w\right)=\frac{2u}{1+u^2},\:\cos \left(w\right)=\frac{1-u^2}{1+u^2}

 

\int \frac{\cos ^2\left(w\right)}{\sin ^3\left(w\right)}dw=\int \frac{\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}{\left(\frac{2u}{1+u^2}\right)^3}\frac{2}{1+u^2}du=\int \frac{\left(u^2-1\right)^2}{4u^3}du=\frac{1}{4}\int \frac{\left(u^2-1\right)^2}{u^3}du=\frac{1}{4}\int \left(u-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^3}\right)du=\frac{1}{4}\left(\frac{u^2}{2}-2\ln \left(u\right)-\frac{1}{2u^2}\right)+C

 

powrót do zmiennej x i gotowe


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.08.2015 - 22:48

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2015 - 15:16

..., to może jeszcze tak :

 \bl\int\frac{dx}{(x+1)^3\sqrt{x^2+2x+2}}=  \int\frac{dx}{(x+1)^3\sqrt{(x+1)^2+1}}=  \|\ x+1= \frac{1}{t},\ dx= \frac{-dt}{t^2}\|= \int\frac{-t^3dt}{t^2\sqrt{t^2+1}}= -\int\frac{tdt}{\sqrt{t^2+1}}=  i  tyle,

zapewne każdy da radę, a jak nie, może np.tak :

=\|\sqrt{t^2+1}=v,\ t^2+1=v^2;\ 2tdt= 2vdv\|=  -\int dv=v=\sqrt{t^2+1}=\sqrt{\frac{1}{(x+1)^2}+1}+C= \re \frac{\sqrt{(x+1)^2+1}}{|x+1|}+C. ... :rolleyes:

-----------------------------------------  

p.s. podejrzanie łatwo i przyjemnie mi to poszło widząc to co ... ;) , czyżbym gdzieś się ..... ?!...


  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2015 - 16:29

Brakło minusa w rozwiązaniu ale to szczegół

 

a co może być nie tak:

 

 \int\frac{dx}{(x+1)^3\sqrt{(x+1)^2+1}}=  \|\ x+1= \frac{1}{t},\ dx= \frac{-dt}{t^2}\|= \re{\int\frac{-t^3dt}{t^2\sqrt{\(\frac{1}{t}\)^2+1}}=} -\int\frac{tdt}{\sqrt{\(\frac{1}{t}\)^2+1}}=-\int\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}dt 

 

a tą całkę to można na kilka sposobów np.

 

t=tg(u)        dt=\sec ^2(u)du

 

=\int \frac{tg ^2\left(u\right)}{\sqrt{tg ^2\left(u\right)+1}}\sec ^2\left(u\right)du=\int \frac{tg ^2\left(u\right)\cdot \sec ^2\left(u\right)}{\sqrt{tg ^2\left(u\right)+1}}du=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)\cdot tg ^2\left(u\right)}{\sqrt{\sec ^2\left(u\right)}}du=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)\left\cdot (-1+\sec ^2\left(u\right)\right)}{\sec \left(u\right)}du=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)-1}{\cos \left(u\right)}du

 

w ostatnim wymnożyłem i skróciłem z mianownikiem

 

=\int \left(\frac{\sec ^2\left(u\right)}{\cos \left(u\right)}-\frac{1}{\cos \left(u\right)}\right)du=\int \sec ^3\left(u\right)-\frac{1}{\cos \left(u\right)}du

 

I mamy dwie specyficzne całki

 

Pierwsza wg wzoru      \re{\fbox{\int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx}}

 

\int \sec ^3\left(u\right)du=\frac{\sec ^2\left(u\right)\sin \left(u\right)}{2}+\frac{1}{2}\int \sec \left(u\right)du

 

i zostaje taka sama całka do policzenia jak całka druga czyli

 

\int sec(x)=\ln \left(\frac{1}{\cos \left(u\right)}+\tan \left(u\right)\right)+C                          szczegóły tu

 

:wave:

 

 

 

Pochodna z twojego wyniku wychodzi mi \frac{1}{(x+1)^3\cdot \sqrt{\frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}}}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.08.2015 - 23:30

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 846 postów
387
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2015 - 22:00

@tadpod łatwo poszło bo @Jarekzulus nie zmienił współczynników trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem

Tam na pewno powinien być moduł w tej funkcji pierwotnej

 

Fani podstawień Eulera powinni dostać jedną z całek

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+2x+2}=t-x\\</p>\\<p>x^2+2x+2=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>2x+2=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx+2x=t^2-2\\</p>\\<p>x\left(2t+2\right)=t^2-2\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-2}{2t+2}\\</p>\\<p>x+1=\frac{t^2-2+2t+2}{2t+2}=\frac{t^2+2t}{2t+2}\\</p>\\<p>t-x=\frac{2t^2+2t-t^2+2}{2t+2}=\frac{t^2+2t+2}{2t+2}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t \cdot \left(2t+2\right)-2\left(t^2-2\right)}{\left(2t+2\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^2+2t+2}{\left(t+1\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^3}{t^3\left(t+2\right)^3}\cdot\frac{2\left(t+1\right)}{t^2+2t+2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{t^2+2t+2}{\left(t+1\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>

Teraz można skończyć metodą Ostrogradskiego albo rozkładem na sumę ułamków prostych

 

Drugie podstawienie Eulera

\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}}=\sqrt{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x+1\right)^3\sqrt{2x^2+4x+4}}}\\</p>\\<p>\sqrt{2x^2+4x+4}=xt-2\\</p>\\<p>2x^2+4x+4=x^2t^2-4xt+4\\</p>\\<p>2x+4=xt^2-4t\\</p>\\<p>4t+4=xt^2-2x\\</p>\\<p>x\left(t^2-2\right)=4t+4\\</p>\\<p>x=\frac{4t+4}{t^2-2}\\</p>\\<p>x+1=\frac{t^2+4t+2}{\left(t^2-2\right)}\\</p>\\<p>xt-2=\frac{4t^2+4t-2t^2+4}{\left(t^2-2\right)}=\frac{2t^2+4t+4}{\left(t^2-2\right)}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{4\left(t^2-2\right)-2t\left(4t+4\right)}{\left(t^2-2\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{-4t^2-8t-8}{\left(t^2-2\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{\left(t^2-2\right)^3}{\left(t^2+4t+2\right)^3}\cdot\frac{t^2-2}{2t^2+4t+4}\cdot\frac{\left(-4t^2-8t-8\right)}{\left(t^2-2\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=-2\int{\frac{\left(t^2-2\right)^2}{\left(t^2+4t+2\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>

 

Teraz można skończyć metodą Ostrogradskiego albo rozkładem na sumę ułamków prostych

 

 

Można tę całkę policzyć także podstawieniem za pierwiastek

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x+1\right)^3\sqrt{x^2+2x+2}}}=\int{\frac{\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^4\sqrt{x^2+2x+2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>t=\sqrt{x^2+2x+2}\\</p>\\<p>t^2=x^2+2x+2\\</p>\\<p>2t\mbox{d}t=\left(2x+2\right)\mbox{d}x\\</p>\\<p>t\mbox{d}t=\left(x+1\right)\mbox{d}x\\</p>\\<p>t^2=\left(x+1\right)^2+1\\</p>\\<p>\left(x+1\right)^2=t^2-1\\</p>\\<p>\int{\frac{t\mbox{d}t}{t\left(t^2-1\right)^2}}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t^2-1\right)^2}}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)^2}}\\</p>\\<p>2=\left(t+1\right)-\left(t-1\right)\\</p>\\<p>4=\left(t+1\right)^2-2\left(t-1\right)\left(t+1\right)+\left(t-1\right)^2\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)^2}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\left(t+1\right)^2-2\left(t-1\right)\left(t+1\right)+\left(t-1\right)^2}{\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t-1\right)^2}}-\int{\frac{2}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}}+\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t+1\right)^2}}\right)\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t-1\right)^2}}-\int{\frac{\left(t+1\right)-\left(t-1\right)}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}}+\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t+1\right)^2}}\right)\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t-1\right)^2}}-\int{\frac{\mbox{d}t}{t-1}}+\int{\frac{\mbox{d}t}{t+1}}+\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t+1\right)^2}}\right)\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}+\ln{\left|t+1\right|}-\ln{\left|t-1\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\frac{-2t}{t^2-1}+\ln{\left|\frac{t+1}{t-1}\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\frac{-2t}{t^2-1}+\ln{\left|\frac{\left(t+1\right)^2}{t^2-1}\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(-2\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{\left(x+1\right)^2}+\ln{\left|\frac{\left(1+\sqrt{x^2+2x+2}\right)^2}{\left(x+1\right)^2}\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(-2\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{\left(x+1\right)^2}+2\ln{\left|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{\left(x+1\right)^2}+\ln{\left|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\right|}\right)+C\\</p>\\<p>

 

Kontynuacja całki po pierwszym podstawieniu Eulera metodą Ostrogradskiego

 

</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=\frac{a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{t^2\left(t+2\right)^2}+\int{\frac{b_{1}t+b_{0}}{t\left(t+2\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)t^2\left(t+2\right)^2-\left(a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(2t\left(t+2\right)^2+2t^2\left(t+2\right)\right)}{t^4\left(t+2\right)^4}+\frac{b_{1}t+b_{0}}{t\left(t+2\right)}\\</p>\\<p>\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)t^2\left(t+2\right)^2-\left(a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)t\left(t+2\right)\left(4t+4\right)}{t^4\left(t+2\right)^4}+\frac{b_{1}t+b_{0}}{t\left(t+2\right)}\\</p>\\<p>\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2+2t\right)-\left(a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(4t+4\right)+\left(b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^4+4t^3+4t^2\right)}{t^3\left(t+2\right)^3}\\</p>\\<p>8t^2+16t+8=\left(3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2+2t\right)-\left(a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(4t+4\right)+\left(b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^4+4t^3+4t^2\right)\\</p>\\<p>8t^2+16t+8=\left(3a_{3}t^4+2a_{2}t^3+a_{1}t^2+6a_{3}t^3+4a_{2}t^2+2a_{1}t\right)-\left(4a_{3}t^4+4a_{2}t^3+4a_{1}t^2+4a_{0}t+4a_{3}t^3+4a_{2}t^2+4a_{1}t+4a_{0}\right)+\left(b_{1}t^5+4b_{1}t^4+4b_{1}t^3+b_{0}t^4+4b_{0}t^3+4b_{0}t^2\right)\\</p>\\<p>8t^2+16t+8=b_{1}t^{5}+\left(4b_{1}+b_{0}-a_{3}\right)t^4+\left(4b_{1}+4b_{0}+2a_{3}-2a_{2}\right)t^3+\left(4b_{0}-3a_{1}\right)t^2+\left(-2a_{1}-4a_{0}\right)t-4a_{0}\\</p>\\<p>

 

\begin{cases}b_{1}=0\\4b_{1}+b_{0}-a_{3}=0\\4b_{1}+4b_{0}+2a_{3}-2a_{2}=0\\4b_{0}-3a_{1}=8\\-2a_{1}-4a_{0}=16\\-4a_{0}=8\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{3}\\a_{2}=3a_{3}\\a_{3}=-1\\a_{1}=-4\\a_{0}=-2\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=-1\\a_{2}=-3\\a_{3}=-1\\a_{1}=-4\\a_{0}=-2\end{cases}\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=\frac{-t^3-3t^2-4t-2}{t^2\left(t+2\right)^2}-\int{\frac{1}{t\left(t+2\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=\frac{-t^3-3t^2-4t-2}{t^2\left(t+2\right)^2}-\frac{1}{2}\int{\frac{2}{t\left(t+2\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=\frac{-t^3-3t^2-4t-2}{t^2\left(t+2\right)^2}-\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\left(t+2\right)-t}{t\left(t+2\right)}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=\frac{-t^3-3t^2-4t-2}{t^2\left(t+2\right)^2}-\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}t}{t}}-\int{\frac{\mbox{d}t}{t+2}}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=\frac{-t^3-3t^2-4t-2}{t^2\left(t+2\right)^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{t+2}{t}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=-\frac{\left(t^2+2t+2\right)\left(t+1\right)}{t^2\left(t+2\right)^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\left(t+2\right)^2}{t\left(t+2\right)}\right|}\\</p>\\<p>\int{\frac{8\left(t+1\right)^2}{t^3\left(t+2\right)^3}\mbox{d}t}=-\frac{\left(t^2+2t+2\right)\left(t+1\right)^2}{t^2\left(t+2\right)^2\left(t+1\right)}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\left(2t+2\right)+\left(t^2+2t+2\right)}{t\left(t+2\right)}\right|}\\</p>\\<p>=-2\sqrt{x^2+2x+2}\cdot\frac{1}{4\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\right|}+C\\</p>\\<p>=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\right|}+C</p>\\<p>

 

 

 

Mnie po powrocie do poprzedniej zmiennej wyszło

 

-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\right|}+C

 

 

 


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 28.08.2015 - 08:27

  • 2





Tematy podobne do: Całkowanie metodą Ostrogradskiego 2     x