Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
* * * * * 1 głosy

Całkowanie metodą Ostrogradskiego

Całka wymierna Całkowanie metodą Ostrogradskiego Całka Całka nieoznaczona Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
24 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 22:28

*
Najwyższa ocena

Temat opracowują Mariusz M i Jarekzulus

 

0. Kilka zdań o autorze metody

Michaił Wasiljewicz Ostrogradski: (1801 - 1862 ) – matematyk ukraiński. Był członkiem Akademii Nauk w Petersburgu, Nowym Jorku, Turynie i Paryżu. W swych pracach zajmował się fizyką matematyczną, algebrą, teorią liczb, analizą matematyczną i rachunkiem prawdopodobieństwa.

   Nie ukończył gimnazjum, gdyż ojciec jego wyobrażał sobie, że tak potężnie zbudowany chłopak musi poświęcić się karierze wojskowej. 15-letniego syna postanowił zawieźć do Petersburga, aby zapisać go do pułku gwardyjskiego. Po drodze dzięki usilnym namowom rodziny zmienił zamiar i Michał wstąpił na Uniwersytet Charkowski.

   Uczył się początkowo słabo, gdyż sam marzył o karierze oficera co zmieniło się gdy zamieszkał u profesora matematyki Pawłowskiego, pod jego wpływem zaczął interesować się bardziej nauką i wkrótce stał się jednym z najlepszych studentów, szczególnie w matematyce. Jednak gdy w 1820 roku zdał wszystkie egzaminy końcowe z wynikiem bardzo dobrym, władze uczelni nie wydały mu dyplomu, bzdurnie to argumentując.

   Wyjechał wówczas do Paryża (Sorbona) i tam uczęszczał na wykłady Ampere'a, Cauchy'ego, Laplace'a, Poissona i innych. Wkrótce sam spróbował swoich sił w matematyce i za obliczenia szczególnie trudnych całek otrzymał od Cauchy'ego specjalną pochwałę.

O takich całkach będziemy pisać

 

1. Trochę teorii

Jeśli wyrażanie \frac{W(x)}{R(x)} jest nieskracalne a wielomian R(X) ma pierwiastki wielokrotne to zachodzi równość

 

\fbox{\re{\int \frac{W(x)}{R(x)} \,dx = \frac{T(x)}{U(x)} + \int \frac{P(x)}{Q(x)} dx }}                      \re{\triangle}

 

U(x) - to największy wspólny dzielnik wielomianu R(x) oraz R'(x)

Q(x)=\frac{R(x)}{U(x)}

 

Nieznane wielomiany wyznaczamy różniczkując obustronnie równość \re{\triangle}

 

\frac{W(x)}{R(x)} = \[\frac{T(x)}{U(x)}\]' +\frac{P(x)}{Q(x)}

 

a następnie obliczając metodą współczynników nieoznaczonych nieznane współczynniki. Ostatnim krokiem jest scałkowanie  \int \frac{P(x)}{Q(x)} dx

 

2. Przekujmy teorię w praktykę

Oblicz metodą Ostrogradskiego (W niektórych przypadkach dla porównania także obliczenia wykorzystujące inne metody)

W pierwszej kolejności te inne metody - jak widać obszerniejsze obliczeniowo

 

\begin{array} {|c.l|c|c|}\hline</p>\\<p>& &\mbox{Metoda inna (post)}&\mbox{Metoda Ostrogradskiego (post)}\\ \hline</p>\\<p>a)&\int\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}dx&2&14\\ \hline</p>\\<p>b)&\int\frac{4x^2-8x}{\left(x-1\right)^2\left(x^2+1\right)^2}dx&3&22\\ \hline</p>\\<p>c)&\int\frac{x^2+x+1}{x^5-2x^4+x^3}dx&4&21\\ \hline</p>\\<p>d)&\int\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}dx&5&18\\ \hline</p>\\<p>e)&\int\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}dx&6&17\\ \hline</p>\\<p>f)&\int\frac{dx}{x^4\left(x^3+1\right)^2}&7&19\\ \hline</p>\\<p>g)&\int\frac{dx}{\left(x^2+2x+10\right)^3}&8&22\\ \hline</p>\\<p>h)&\int\frac{\left(x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^3}dx&9&20\\ \hline</p>\\<p>i)&\int\frac{x^5-x^4-26x^2-24x-25}{\left(x^2+4x+5\right)^2\left(x^2+4\right)^2}dx&10&24\\ \hline</p>\\<p>j)&\int\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}dx&11&15\\ \hline</p>\\<p>k)&\int\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}dx&12&16\\ \hline</p>\\<p>l)&\int\frac{9}{5x^2\left(3-2x^2\right)^3}dx&13&25\\ \hline<br>\\\end{array}

 

Całki rozwiązane metodą Ostrogradskiego z innych zadań

 

m)\, \int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}   Oryginał

 

n)\,\int \frac{dx}{(x^2+13)^3}    Oryginał


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 07.09.2015 - 23:44

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:21

Metodą Ostrogradskiego rozwiązał Mariusz M w poście 14

 

a)\,\int{\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}

 

Wyrażenie to można zapisać tak (po potęgowaniu mianownika i dzieleniu wielomianów (licznik przez mianownik))

 

\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}=2+x-2 x^2+x^3+\frac{2+x}{(1+x+x^2)^2}-\frac{2\cdot (1+2 x)}{1+x+x^2}

 

więc

 

\int{\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}=2\int dx+\int x dx-2 \int x^2 dx+\int x^3dx+\int \frac{2+x}{(1+x+x^2)^2}-2\int\frac{1+2 x}{1+x+x^2}dx

 

Zostają do policzenia w zasadzie jedna przedostatnia całka

 

\int \frac{2+x}{(1+x+x^2)^2}

 

x + 2=x+\frac{1}{2}- \frac{1}{2}+2=x+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}

 

\int{\frac{x + 2}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} d x} = \int{\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} + \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right)d x}=\int{\left(\frac{2x + 1}{2\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} + \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right)d x}=\\=\int \frac{2x + 1}{2\left(x^{2} + x + 1\right)^2}dx+\int \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}dx

 

\int \frac{2x + 1}{2\left(x^{2} + x + 1\right)^2}dx robimy podstawienie x^2+x+1=t więc (2x+1) dx=dt co daje \int\frac{dt}{2t^2}=-\frac{1}{2t}+C=-\frac{1}{2(x^2+x+1)}+C

 

Więcej zabawy jest z całką

 

\int \frac{3}{2(x^2+x+1)^2}dx= \frac{3}{2} \int{\frac{1}{(x^{2} + x + 1)^{2}} d x

 

a ponieważ x^{2} + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}

 

\frac{3}{2} \int{\frac{1}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} d x} = \frac{3}{2} \int{\frac{1}{\left(\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}\right)^{2}} d x}=\frac{3}{2}\int \frac{du}{\(u^2+\frac{3}{4}\)^2}                (wykorzystano podstawienie x+\frac{1}{2} = u)

 

Wersja ciekawa

\int \frac{1}{\left(u^2+\frac{3}{4}\right)^2}du=\frac{8\sqrt{3}}{9}\(\frac{u}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(u)\)+C

 

Wersja z podstawieniem trygonometrycznym

\int \frac{1}{\left(u^2+\frac{3}{4}\right)^2}du=\frac{8\sqrt{3}}{18}arctg \left(\frac{2}{\sqrt{3}}u\right)+\frac{8\sqrt{3}\sin \left(2arctg \left(\frac{2}{\sqrt{3}}u\right)\right)}{36}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.08.2015 - 22:19

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:26

b)\,\int{\frac{4x^2-8x}{\left(x-1\right)^2\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}  Metodą Ostrogradskiego obliczono w poście 22

 

\int \frac{4x^2-8x}{\left(x-1\right)^2\left(x^2+1\right)^2}dx=\int \frac{-2x-1}{x^2+1}+\frac{2}{x-1}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}-\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}dx=\int \frac{-2x-1}{x^2+1}dx+\int \frac{2}{x-1}dx-\int \frac{1}{\left(x-1\right)^2}dx-\int \frac{2\left(x-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}dx

 

Dwie ciekawsze :)

 

\int \frac{-2x-1}{x^2+1}dx=-\int \frac{2x}{x^2+1}dx-\int \frac{1}{x^2+1}dx=-\ln \left(x^2+1\right)-arctg \left(x\right)

 

\int \frac{2\left(x-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}dx=2\int \frac{x-2}{\left(x^2+1\right)^2}dx

 

Przez części (Całka policzona np tu)

 

u=x-2,\:\:u'=1,\:\:v'=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2},\:\:v=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctg \left(x\right)

 

(x-2)\cdot \(\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctg \left(x\right)\)-\int\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctg \left(x\right) dx

 

i ponownie przez części

 

f=\frac{x}{x^2+1}+arctg \left(x\right),\:\:f'=\frac{2}{\left(x^2+1\right)^2},\:\:g'=1,\:\:g=x

 

=(x-2)\cdot \(\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctg \left(x\right)\)+\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{x^2+1}+arctg \left(x\right)\right)x-\int \frac{2}{\left(x^2+1\right)^2}xdx\right)

 

=\frac{x(x-2)}{2(x^2+1)}+\frac{x-2}{2}arctg \left(x\right)+\frac{x^2}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}x arctg \left(x\right)-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}dx

 

=\frac{x(x-2)}{2(x^2+1)}+\frac{x-2}{2}arctg \left(x\right)+\frac{x^2}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}x arctg \left(x\right)+\frac{1}{2(x^2+1)}+C

 

Reasumując

 

\int \frac{4x^2-8x}{\left(x-1\right)^2\left(x^2+1\right)^2}dx=-\ln \left(x^2+1\right)-arctg \left(x\right)+2\ln \left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}-2\cdot\(\frac{x(x-2)}{2(x^2+1)}+\frac{x-2}{2}arctg \left(x\right)+\frac{x^2}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}x \cdot arctg \left(x\right)+\frac{1}{2(x^2+1)}\)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.08.2015 - 00:32

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:29

c)\,\int{\frac{x^2+x+1}{x^5-2x^4+x^3}\mbox{d}x} Metodą Ostrogradskiego w poście 21

 

x^5-2x^4+x^3= x^3\left(x-1\right)^2

 

\(x^5-2x^4+x^3\)'=5x^4-8x^3+3x^2=\left(x-1\right)x^2\left(5x-3\right)

 

\int \frac{x^2+x+1}{x^5-2x^4+x^3}dx=\int \frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{6}{x-1}+\frac{3}{\left(x-1\right)^2}dx=6\ln \left(x\right)-\frac{3}{x}-\frac{1}{2x^2}-6\ln \left(x-1\right)-\frac{3}{x-1}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.08.2015 - 12:08

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:33

d)\,\int{\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}          Metodą Ostrogradskiego policzono w poście 18

 

=\int \frac{x}{x^2+1}+\frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}-\frac{2}{x^3}dx=\frac{\ln \left(x^2+1\right)}{2}-\frac{1}{x^2+1}-\left(-\frac{1}{x^2}\right)+C=-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2}+\frac{\ln \left(x^2+1\right)}{2}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.08.2015 - 09:25

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:35

e) Metodą na rozkład na ułamki. Metodą Ostrogradskiego policzono w pości 17

 

e)\,\int{\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}\mbox{d}x}

 

\int \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} d x = \int{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{4}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}\right)d x

 

\int \frac{1}{\left(x^2 + 1\right)^{2}}

 

do policzenia dwie trudniejsze całeczki

 

Obliczmy zatem \int \frac{dx}{x^2+1} ale przez części (zapominając, że znamy wynik z tablic)

 

f=\frac{1}{x^2+1}                             g'=1

f'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}                   g=x

 

\int \frac{dx}{x^2+1}dx=\frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx= \frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2}dx -2\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx

 

więc

 

\int \frac{dx}{x^2+1}dx=\frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{dx}{x^2+1} -2\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx

 

przenosimy powtarzające się całki i mamy

 

2\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{x^2+1}+\int \frac{dx}{x^2+1}   (teraz już pamiętamy ile wynosi ostatnia całka)

 

\re\fbox{\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(x)+C}

 

a teraz

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^3} wykonamy analogicznym sposobem jak całkę poprzednią czyli obliczymy \int \frac{dx}{(x^2+1)^2} przez części

 

f=\frac{1}{(x^2+1)^2                             g'=1

f'=\frac{-4x}{(x^2+1)^3                             g=x

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^3} dx=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2+1}{(x^2+1)^3} dx-4\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}        czyli

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2+1}{(x^2+1)^3} dx-4\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}       więc

 

4\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{1}{(x^2+1)^2} dx-\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+3\int\frac{dx}{4(x^2+1)^2} dx=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3}{4}\int\frac{dx}{(x^2+1)^2} dx

 

a ponieważ policzylismy już ostatnią całkę mamy

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3}{4}\(\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(x)\)+C=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8} arctg(x)+C

 

\re\fbox{\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8} arctg(x)+C}

 

Po redukcji uproszczeniu itd. mamy

 

\int{\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} d x}=- \frac{x^{3}}{2 \left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2} arctg\left (x \right )+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 10.08.2015 - 11:52

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:36

f)\,\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}          Metodą Ostrogradskiego rozwiązano w poście 19

 

Najpierw podstawienie

 

u=x^3:\quad \quad du=3x^2dx,\:\quad \:dx=\frac{1}{3x^2}du

 

\int \frac{1}{x^4\left(x^3+1\right)^2}dx=\int \frac{1}{x^4\left(u+1\right)^2}\frac{1}{3x^2}du=\int \frac{1}{3x^6\left(u+1\right)^2}du=\int \frac{1}{3u^2\left(u+1\right)^2}du

 

i zastosujemy rozkład na ułamki proste

 

=\frac{1}{3}\int \frac{2}{u+1}+\frac{1}{\left(u+1\right)^2}-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^2}du=\frac{1}{3}\left(2\ln \left(u+1\right)-\frac{1}{u+1}-2\ln \left(u\right)-\frac{1}{u}\right)=\frac{2}{3}\ln |x^3+1|-\frac{1}{3(x^3+1)}-\frac{2}{3}\ln |x^3|-\frac{1}{3x^3}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.08.2015 - 11:56

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:38

g)\,\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x^2+2x+10\right)^3}}   Metoda Ostrogradskiego w poście 22

 

\int \frac{1}{\left(x^{2} + 2 x + 10\right)^{3}} d x = \int{\frac{1}{\left(\left(x + 1\right)^{2} + 9\right)^{3}} d x=\int \frac{dt}{(t^2+1)^3}    Podstawienie x+1=t\\ dx=dt

 

Teraz analogicznie jak w poście

 

\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} d u}=\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} \cdot u-\int{u \cdot \left(- \frac{4 u}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}}\right) d u}=\frac{u}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} +4 \int{ \frac{u^{2}}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}}d u}=\frac{u}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} +4 \int{ \frac{u^{2}+9-9}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}}d u}=\\ \frac{u}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} +4 \int{ \frac{u^{2}+9}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}}d u}-36 \int\frac{du}{(u^2+9)^3}

 

czyli

 

\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} d u}= \frac{u}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} +4 \int{ \frac{u^{2}+9}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}}d u}-36 \int\frac{du}{(u^2+9)^3}

 

więc

 

\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}} d u}=\frac{u}{36 \left(u^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{12} \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} d u}

 

Jeśli zastosujemy tą samą procedurę otrzymamy

 

\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} d u}=\frac{u}{18 (u^{2} + 9)} + \frac{1}{18} \int{\frac{1}{u^{2} + 9} d u}

 

Podstawiając mamy

 

\frac{u}{36 \left(u^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{12} \int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{2}} d u} = \frac{u}{36 \left(u^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{12}\left(\frac{u}{18 (u^{2} + 9)} + \frac{1}{18} \int{\frac{1}{u^{2} + 9} d u}\right)

 

\int{\frac{1}{\left(u^{2} + 9\right)^{3}} d u}=\frac{u}{36 \left(u^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{12}\left(\frac{u}{18 (u^{2} + 9)} + \frac{1}{18} \int{\frac{1}{u^{2} + 9} d u}\right)

 

\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 2 x + 10\right)^{3}} d x} = \frac{x + 1}{216 \(\left(x + 1\right)^{2} + 9\)} + \frac{x + 1}{36 \left(\left(x + 1\right)^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{648} arctg\(\frac{x+1}{3}\)+C

 

\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 2 x + 10\right)^{3}} d x} = \frac{x + 1}{216 \(x^{2} + 2 x + 10\)} + \frac{x + 1}{36 \left(x^{2} + 2 x + 10\right)^{2}} + \frac{1}{648} arctg\(\frac{x+1}{3}\)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.08.2015 - 11:08

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:40

h)\,\int{\frac{\left(x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\mbox{d}x}               Metodą Ostrogradskiego rozwiązano w poście 20

 

\int{\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}} d x = \int{\left(\frac{x + 1}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}}\right)d x

 

w pierwszej z całek podstawienie x^2+2x+2=t                         \frac{1}{2}dt=dx

 

\int \frac{x + 1}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}}dx=\frac{1}{2} \int\frac{dt}{t^3}=-\frac{1}{4t^2}+C=-\frac{1}{4(x^2+2x+2)^2}+C

 

Druga całka podstawienie x+1=u    dx=du

 

\int \frac{1}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}}dx=\int \frac{1}{((x+1)^2+1)^{3}}dx=\int \frac{du}{(u^2+1)^3}

 

i korzystając z naszej małej ściągi  mamy

 

\re\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8} arctg(x)+C

 

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.08.2015 - 11:28

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:42

i)\,\int \frac{x^5-x^4-26x^2-24x-25}{\left(x^2+4x+5\right)^2\left(x^2+4\right)^2}\mbox{d}x    Metodą Ostrogradskiego rozwiązano w poście 24

 

Rozkładając na ułamki mamy

 

\int \left(\frac{x}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right)d x = \int \frac{x}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} d x - \int \frac{1}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} d x

 

Pierwszą całkę można obliczyć tak

 

\int \frac{x}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} d x=\int \frac{x+2-2}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} d x=\int \frac{x+2}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} d x -2\int \frac{dx}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}}

 

Jeśli zastosujemy podstawienie x^2+4x+5=t            (2x+4)dx=dt            (x+2)dx=\frac{1}{2}dt     to

 

\int \frac{x+2}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} d x=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{2t}+C=-\frac{1}{2(x^2+4x+5)}+C

 

-2\int \frac{dx}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}}        przekształcimy nieco mianownik a następnie zastosujemy podstawienie x+2=u

 

-2\int \frac{dx}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}}=-2\int \frac{dx}{((x+2)^2+1)^{2}}=-2\int \frac{du}{(u^2+1)^{2}}

 

A teraz dobrze nam znany wzór \re\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(x)+C     czyli

 

-2\int \frac{dx}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}}=-2\(\frac{u}{2(u^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(u)\)+C=-\frac{x+2}{(x+2)^2+1}- arctg(x+2)+C

 

Ostatnią całkę tj.  \int\frac{1}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} robimy analogicznie jak  \int\frac{du}{(u^2+1)^{2}}

 

\int{\frac{1}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} d x}=\frac{x}{8 (x^{2} + 4)} + \frac{1}{8} \int{\frac{1}{x^{2} + 4} d x}=\frac{x}{8 (x^{2} + 4)} + \frac{1}{16} arctg\(\frac{x}{2}\)+C

 

Czyli

 

\int \frac{x^5-x^4-26x^2-24x-25}{\left(x^2+4x+5\right)^2\left(x^2+4\right)^2}\mbox{d}x=-\frac{1}{2(x^2+4x+5)}-\frac{x+2}{(x+2)^2+1}- arctg(x+2)-\frac{x}{8 (x^{2} + 4)} - \frac{1}{16} arctg\(\frac{x}{2}\)+C

 

Ewentualnie można jeszcze nieco uprościć


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.08.2015 - 23:29

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#11 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:44

j)\,\int{\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}           Rozkładem na czynniki, w poście 15 jest zastosowana metoda Ostrogradskiego

 

\int \frac{3 x^4 + 4}{x^2 \left(x^2 + 1\right)^3} d x =\int\left(- \frac{4}{x^{2} + 1} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{7}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{4}{x^2}\right)dx

 

Dwie środkowe mogą sprawić problem ale niewielki. Dwie skrajne niemal od ręki :)

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.08.2015 - 22:58

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#12 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:46

 k)\, \int \frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}dx

 

Mianownik można zapisać jako (x-1)^3 (x+1)^2 a po rozkładzie na ułamki proste

 

=\int \:-\frac{2}{x+1}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{3}{\left(x-1\right)^3}dx=-\int \frac{2}{x+1}dx-\int \frac{1}{\left(x+1\right)^2}dx+\int \frac{1}{x-1}dx+\int \frac{2}{\left(x-1\right)^2}dx+\int \frac{3}{\left(x-1\right)^3}dx

 

=-2\ln \left(x+1\right)+\frac{1}{x+1}+\ln \left(x-1\right)-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{2\left(x-1\right)^2}+C

 

Metodą Ostrogradskiego w poście 16


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.08.2015 - 20:28

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#13 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.08.2015 - 23:49

l)\,\int{\frac{9}{5x^2\left(3-2x^2\right)^3}\mbox{d}x}            Metodą Ostrogradskiego policzono w pości 25

 

\frac{9}{5}\int{\frac{dx}{x^2\left(3-2x^2\right)^3}       Rozkład tej funkcji jest nieco pracochłonny, co pokazuje jak wygodą metodą jest metoda Ostrogradskiego ale wygląda on tak

 

\int{\frac{dx}{x^2\left(3-2x^2\right)^3}=\int \(\frac{1}{27x^2}+\frac{5}{36\sqrt{6}(2x+\sqrt{6})}+\frac{7}{108(2x+\sqrt{6})^2}+\frac{1}{9\sqrt{6}(2x+\sqrt{6})^3}+\frac{5}{36\sqrt{6}(\sqrt{6}-2x)}+\frac{7}{108\sqrt{6}(\sqrt{6}-2x)^2}+\frac{1}{9\sqrt{6}(\sqrt{6}-2x)^3}\)dx

 

Plusem jest to, że te całki łatwo się liczy

 

Albo

 

\int\frac{9}{5x^2\left(3-2x^2\right)^3}dx         Najpierw podstawienie x=\frac{1}{t}         więc            dx=-\frac{1}{t^2}dt

 

i otrzymujemy

 

\int\frac{9}{5x^2\left(3-2x^2\right)^3}dx=-\frac{9}{5}\int \frac{dt}{\(3-2\(\frac{1}{t}\)^2\)^3}=-\frac{9}{5}\int \frac{t^6 dt}{\(3t^2-2\)^3}

 

Tę całkę najlepiej rozpocząć przez części

 

f(x)=\frac{t^5}{12}                g'(x)=\frac{12t}{(3t^2-2)^3}

f'(x)=\frac{5t^4}{12}             g(x)=-\frac{1}{(3t^2-2)^2}                 robimy podstawienie  3t^2-2=u

 

\int \frac{t^6 dt}{\(3t^2-2\)^3}=-\frac{t^5}{12(3t^2-2)^2}+\frac{5}{12}\int \frac{t^4 dt}{(3t^2-2)^2}

 

Powtórka z rozrywki

 

h(x)=\frac{t^3}{6}                j'(x)=\frac{6t}{(3t^2-2)^2}

h'(x)=\frac{3t^2}{6}             j(x)=-\frac{1}{3t^2-2}                 robimy podstawienie  3t^2-2=u

 

W ten sposób obniżyliśmy stopień wyrażenia w mianowniku co ułatwi nam całkowanie

 

-\frac{9}{5}\int \frac{t^6 dt}{\(3t^2-2\)^3}=-\frac{9}{5}\(-\frac{t^5}{12(3t^2-2)^2}+\frac{5}{12}\int \frac{t^4 dt}{(3t^2-2)^2}\)=-\frac{9}{5}\(-\frac{t^5}{12(3t^2-2)^2}+\frac{5}{12}\(-\frac{t^3}{6(3t^2-2)}+\frac{3}{6}\int\frac{t^2dt}{3t^2-2}\)\)

 

Dzielimy licznik przez mianownik i otrzymujemy

 

\int \frac{t^{2}dt}{3 t^{2} - 2} = \int \left\frac{1}{3} + \frac{2}{3(3 t^{2} - 2)}\right)dt

 

a teraz tylko podział na ułamki proste

 

\frac{2}{3(3 t^{2} - 2)}dt=\frac{2}{3}\int\( \frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{3} t - 4 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{3} t + 4 \sqrt{2}}\)dt=\frac{2}{3}\(\frac{\sqrt{6}}{12} \left(\ln |\left \sqrt{3} t - \sqrt{2}| - \ln|\sqrt{3} t + \sqrt{2}|\right)\)+C

 

Pozostaje drobra kosmetyka zapisu i powrót do wyjściowej zmiennej


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 17.08.2015 - 09:10

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#14 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 821 postów
365
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2015 - 03:22

a) Metodą Ostrogradskiego (Metodą na rozkład na ułamki rozwiązane w poście 2)

 

a)\,\int{\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}
 

\left(x^2+x+1\right)^2=\left(\left(x^2+x\right)+1\right)^2\\</p>\\<p>=\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1\\</p>\\<p>=x^4+2x^3+x^2+2x^2+2x+1\\</p>\\<p>=x^4+2x^3+3x^2+2x+1</p>\\<p>

 

\begin{array}{lll}<br>\\(x^7 + 0x^6 +0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+2) & : & (x^4+2x^3+3x^2+2x+1) = x^3-2x^2+x +2 \\<br>\\\underline{-x^7 -2x^6-3x^5-2x^4-x^3} & & \\<br>\\\qquad -2x^6 - 3x^5 -2x^4 -x^3+0x^2+0x+2 & & \\<br>\\\qquad \ \ \underline{2x^6 +4x^5+6x^4+4x^3+2x^2} & &\\<br>\\\qquad \qquad \qquad x^5+4x^4+3x^3+2x^2+0x+2& & \\<br>\\\qquad \qquad \quad \underline{-x^5-2x^4-3x^3-2x^2-x} & & \\<br>\\\qquad \qquad \qquad \qquad 2x^4+0x^3+0x^2-x+2 & & \\<br>\\\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \underline{-2x^4-4x^3-6x^2-4x-2} & & \\<br>\\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = -4x^3-6x^2-5x & &<br>\\\end{array}

 

\int{\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}=\int{\left(x^3-2x^2+x +2\right)\mbox{d}x}+\int{\frac{-4x^3-6x^2-5x}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}

 

 

Dzielenie było konieczne bo metoda działa dla funkcji wymiernych właściwych

Mianownik mamy już rozłożony na czynniki więc licząc \gcd możemy skorzystać z tego rozkładu

 

\int{\frac{-4x^3-6x^2-5x}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+x+1}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+x+1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{-4x^3-6x^2-5x}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{\left(a_{1}\left(x^2+x+1\right)-\left(a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x+1\right)\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}+\frac{\left(b_{1}x+b_{0}\right)}{\left(x^2+x+1\right)}\\</p>\\<p>\frac{-4x^3-6x^2-5x}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{\left(a_{1}\left(x^2+x+1\right)-\left(a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x+1\right)\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}\\</p>\\<p>-4x^3-6x^2-5x=\left(a_{1}\left(x^2+x+1\right)-\left(a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x+1\right)\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^2+x+1\right)\\</p>\\<p>-4x^3-6x^2-5x=a_{1}x^2+a_{1}x+a_{1}-\left(2a_{1}x^2+a_{1}x+2a_{0}x+a_{0}\right)+\left(b_{1}x^3+b_{1}x^2+b_{1}x+b_{0}x^2+b_{0}x+b_{0}\right)\\</p>\\<p>-4x^3-6x^2-5x=b_{1}x^3+\left(b_{1}+b_{0}-a_{1}\right)x^2+\left(b_{1}+b_{0}-2a_{0}\right)x+a_{1}-a_{0}+b_{0}\\</p>\\<p>

 

\begin{cases}b_{1}=-4\\b_{1}+b_{0}-a_{1}=-6\\b_{1}+b_{0}-2a_{0}=-5\\a_{1}-a_{0}+b_{0}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=-4\\b_{0}-a_{1}=-2\\b_{0}-2a_{0}=-1\\a_{1}-a_{0}+b_{0}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=-4\\b_{0}=a_{0}-a_{1}\\a_{0}-2a_{1}=-2\\-a_{0}-a_{1}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=-4\\b_{0}=a_{0}-a_{1}\\a_{0}=-2+2a_{1}\\-3a_{1}=-3\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=-4\\b_{0}=-1\\a_{1}=1\\a_{0}=0\end{cases}\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{-4x^3-6x^2-5x}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{x}{x^2+x+1}+\int{\frac{-4x-1}{x^2+x+1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{x}{x^2+x+1}-\int{\frac{2\left(2x+1\right)-1}{x^2+x+1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\frac{x}{x^2+x+1}-2\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}\mbox{d}x}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}}\\</p>\\<p>=\frac{x}{x^2+x+1}-2\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}\mbox{d}x}+\frac{4}{3}\int{\frac{\mbox{d}x}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}}\\</p>\\<p>=\frac{x}{x^2+x+1}-2\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}\mbox{d}x}+\frac{2}{\sqrt{3}}\int{\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\mbox{d}x}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}}\\</p>\\<p>=\frac{x}{x^2+x+1}-2\ln{\left|x^2+x+1\right|}+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}=\int{\left(x^3-2x^2+x +2\right)\mbox{d}x}+\frac{x}{x^2+x+1}-2\ln{\left|x^2+x+1\right|}+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^7+2}{\left(x^2+x+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x+\frac{x}{x^2+x+1}-2\ln{\left|x^2+x+1\right|}+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.08.2015 - 22:20
Edytowałem spany :)

  • 2

#15 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 821 postów
365
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2015 - 12:22

j) Metodą Ostrogradskiego (w poście 11 metoda na rozkład na ułamki)

 

\int{\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}

 

R\left(x\right)=x^2\left(x^2+1\right)^3\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=2x\left(x^2+1\right)^3+x^2\cdot 3\left(x^2+1\right)^2\cdot 2x=2x\left(x^2+1\right)^2\left(x^2+1+3x^2\right)=x\left(x^2+1\right)^2\left(8x^2+2\right)\\</p>\\<p>

Obliczmy teraz GCD  tych wielomianów

Mamy dany rozkład tych wielomianów na czynniki więc wykorzystajmy go

 

\gcd\left(x^2\left(x^2+1\right)^3,x\left(x^2+1\right)^2\left(8x^2+2\right)\right)=x\left(x^2+1\right)^2

 

\int{\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{\left(a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)}{x\left(x^2+1\right)^2}+\int{\frac{b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^2+1\right)}\mbox{d}x}

 

\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}=\frac{\left(4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x\left(x^2+1\right)^2-\left(a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(\left(x^2+1\right)^2+x\cdot 2\left(x^2+1\right)\cdot 2x\right)}{x^2\left(x^2+1\right)^4}+\frac{b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^2+1\right)}

 

\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}=\frac{\left(4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x\left(x^2+1\right)^2-\left(a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(x^2+1\right)\left(x^2+1+4x^2\right)+\left(b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)x\left(x^2+1\right)^3}{x^2\left(x^2+1\right)^4}

 

\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}=\frac{\left(4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x\left(x^2+1\right)-\left(a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(5x^2+1\right)+\left(b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)x\left(x^2+1\right)^2}{x^2\left(x^2+1\right)^3}

 

3x^4+4=\left(4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^3+x\right)-\left(a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(5x^2+1\right)+\left(b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^5+2x^3+x\right)

 

3x^4+4=\left(4a_{4}x^6+3a_{3}x^5+2a_{2}x^4+a_{1}x^3+4a_{4}x^4+3a_{3}x^3+2a_{2}x^2+a_{1}x\right)\\ \left(5a_{4}x^6+5a_{3}x^5+5a_{2}x^4+5a_{1}x^3+5a_{0}x^2+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)+\\</p>\\<p>\left(b_{2}x^7+b_{1}x^6+b_{0}x^{5}+2b_{2}x^5+2b_{1}x^4+2b_{0}x^3+b_{2}x^3+b_{1}x^2+b_{0}x\right)

 

3x^4+4=b_{2}x^7+\left(b_{1}-a_{4}\right)x^6+\left(2b_{2}+b_{0}-2a_{3}\right)x^5+\left(2b_{1}-3a_{2}+3a_{4}\right)x^4+\left(b_{2}+2b_{0}-4a_{1}+2a_{3}\right)x^3+\left(b_{1}+a_{2}-5a_{0}\right)x^2+b_{0}x-a_{0}

 

 

\{b_{2}=0\,\,\,b_{1}=a_{4}\,\,\,b_{0}=2a_{3}\,\,\,5a_{4}-3a_{2}=3\,\,\,6a_{3}-4a_{1}=0\,\,\,a_{4}+a_{2}-5a_{0}=0\,\,\,b_{0}=0\,\,\,a_{0}=-4

\{b_{2}=0\,\,\,b_{1}=a_{4}\,\,\,b_{0}=0\,\,\,a_{3}=0\,\,\,a_{1}=0\,\,\,5a_{4}-3a_{2}=3\,\,\,a_{4}+a_{2}=-20\,\,\,a_{0}=-4

\{b_{2}=0\,\,\,b_{1}=a_{4}\,\,\,b_{0}=0\,\,\,a_{3}=0\,\,\,a_{1}=0\,\,\,8a_{4}=-57\,\,\,a_{2}=-20-a_{4}\,\,\,a_{0}=-4

\{b_{2}=0\,\,\,b_{1}=-\frac{57}{8}\,\,\,b_{0}=0\,\,\,a_{4}=-\frac{57}{8}\,\,\,a_{3}=0\,\,\,a_{2}=-\frac{103}{8}\,\,\,a_{1}=0\,\,\,a_{0}=-4
 

 

 

\int{\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{8}\frac{57x^4+103x^2+32}{x\left(x^2+1\right)^2}-\frac{57}{8}\int{\frac{x}{x\left(1+x^2\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{8}\frac{57x^4+103x^2+32}{x\left(x^2+1\right)^2}-\frac{57}{8}\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(1+x^2\right)}}\\</p>\\<p>\int{\frac{3x^4+4}{x^2\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{8}\frac{57x^4+103x^2+32}{x\left(x^2+1\right)^2}-\frac{57}{8} arctg{\left(x\right)}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.08.2015 - 22:23
Edycja Span

  • 1

#16 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.08.2015 - 19:12

k) Metodą Ostrogradskiego (w poście 12 metodą na rozkład na ułamki)

 

\int{\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\mbox{d}x}

R\left(x\right)=x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=5x^4-4x^3-6x^2+4x+1\\</p>\\<p>

 

Tutaj nie mamy rozkładu mianownika na czynniki więc \gcd\left(R\left(x\right),R'\left(x\right)\right) znajdziemy innym sposobem

 

 

\begin{array}{lll}<br>\\(x^5-x^4 - 2x^3 + 2x^2+ x -1) & : & (5x^4-4x^3-6x^2+4x+1) = \frac{1}{5} x -\frac{1}{25}\\<br>\\\underline{-x^5 +\frac{4}{5} x^4+\frac{6}{5}x^3-\frac{4}{5}x^2-\frac{1}{5}x} & & \\<br>\\\qquad -\frac{1}{5}x^4 - \frac{4}{5}x^3 +\frac{6}{5}x^2+\frac{4}{5}x-1 & & \\<br>\\\qquad \ \ \underline{\frac{1}{5}x^4-\frac{4}{25}x^3-\frac{6}{25}x^2+\frac{4}{25}x+\frac{1}{25}} & &\\<br>\\\qquad \qquad \qquad -\frac{24}{25}x^3+\frac{24}{25}x^2+\frac{24}{25}x-\frac{24}{25}& & \\<br>\\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = -\frac{24}{25}\left(x^3-x^2-x+1\right) & &<br>\\\end{array}

 

\begin{array}{lll}<br>\\(5x^4-4x^3-6x^2+4x+1) & : & (x^3-x^2-x+1) = 5x+1\\<br>\\\underline{-5x^4+5x^3+5x^2-5x} & & \\<br>\\\qquad x^3-x^2-x+1 & & \\<br>\\\qquad \ \ \underline{-x^3+x^2+x-1} & &\\<br>\\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = 0 & &<br>\\\end{array}

 

\gcd \left(x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1,5x^4-4x^3-6x^2+4x+1\right)=x^3-x^2-x+1

 

 

\begin{array}{lll}<br>\\(x^5-x^4 - 2x^3 + 2x^2 +x -1) & : & (x^3-x^2-x+1) = x^2 -1 \\<br>\\\underline{-x^5+x^4+x^3-x^2} & & \\<br>\\\qquad -x^3 + x^2 +x -1 & & \\<br>\\\qquad \ \ \underline{x^3-x^2-x+1} & &\\<br>\\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = 0 & &<br>\\\end{array}

 

 

\int{\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\mbox{d}x}=\frac{a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}}{x^3-x^2-x+1}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2-1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}=\frac{\left(2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)-\left(a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x^2-2x-1\right)}{\left(x^3-x^2-x+1\right)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2-1}\\</p>\\<p>\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}=\frac{\left(2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)\left(x^2-1\right)-\left(a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x^2-2x-1\right)\left(x^2-1\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)^2}{\left(x^3-x^2-x+1\right)^2\left(x^2-1\right)}\\</p>\\<p>\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}=\frac{\left(2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)\left(x^2-1\right)-\left(a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)^2}{\left(x^3-x^2-x+1\right)^2\left(x^2-1\right)}\\</p>\\<p>\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}=\frac{\left(2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2-1\right)-\left(a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x+1\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)}{\left(x^3-x^2-x+1\right)\left(x^2-1\right)}\\</p>\\<p>5-3x+6x^2+5x^3-x^4=\left(2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2-1\right)-\left(a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x+1\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^3-x^2-x+1\right)\\</p>\\<p>5-3x+6x^2+5x^3-x^4=\left(2a_{2}x^3+a_{1}x^2-2a_{2}x-a_{1}\right)-\left(3a_{2}x^3+3a_{1}x^2+3a_{0}x+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{1}x^4-b_{1}x^3-b_{1}x^2+b_{1}x+b_{0}x^3-b_{0}x^2-b_{0}x+b_{0}\right)\\</p>\\<p>5-3x+6x^2+5x^3-x^4=\left(b_{0}-a_{1}-a_{0}\right)+\left(b_{1}-b_{0}-2a_{2}-3a_{0}-a_{1}\right)x+\left(-b_{1}-b_{0}-2a_{1}-a_{2}\right)x^2+\left(-b_{1}+b_{0}-a_{2}\right)x^3+b_{1}x^4</p>\\<p>

 

\begin{cases}b_{0}-a_{1}-a_{0}=5\\b_{1}-b_{0}-2a_{2}-a_{1}-3a_{0}=-3\\-b_{1}-b_{0}-a_{2}-2a_{1}=6\\-b_{1}+b_{0}-a_{2}=5\\b_{1}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{0}-a_{1}-a_{0}=5\\-b_{0}-2a_{2}-a_{1}-3a_{0}=-2\\-b_{0}-a_{2}-2a_{1}=5\\b_{0}-a_{2}=4\\b_{1}=-1\end{cases}\\<br>\\\begin{cases}2a_{2}-2a_{1}-2a_{0}=2\\-6a_{2}-2a_{1}-6a_{0}=4\\2a_{2}=-9-2a_{1}\\b_{0}=4+a_{2}\\b_{1}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}4a_{1}=-11-2a_{0}\\4a_{1}-6a_{0}=-23\\2a_{2}=-9-2a_{1}\\b_{0}=4+a_{2}\\b_{1}=-1\end{cases}\\<br>\\\begin{cases}4a_{1}=-11-2a_{0}\\2a_{0}=3\\2a_{2}=-9-2a_{1}\\b_{0}=4+a_{2}\\b_{1}=-1\end{cases}\\<br>\\\begin{cases}2a_{1}=-7\\2a_{0}=3\\a_{2}=-1\\b_{0}=3\\b_{1}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x^2+7x-3}{x^3-x^2-x+1}+\int{\frac{-x+3}{x^2-1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x^2+7x-3}{x^3-x^2-x+1}+\int{\frac{\left(x+1\right)-2\left(x-1\right)}{x^2-1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{5-3x+6x^2+5x^3-x^4}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x^2+7x-3}{x^3-x^2-x+1}+\ln{\left|x-1\right|}-2\ln{\left|x+1\right|}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.08.2015 - 22:24

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#17 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 821 postów
365
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.08.2015 - 06:06

e) Metodą Ostrogradskiego (metodą na rozkład na ułamki policzono w poście 6)

 

\int{\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}\mbox{d}x}

 

Tutaj mamy dany rozkład mianownika R\left(x\right) na czynniki więc wykorzystajmy go
 

R\left(x\right)=\left(1+x^2\right)^3\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=3\left(1+x^2\right)^2\cdot 2x=6x\left(1+x^2\right)^2</p>\\<p>

 

\gcd\left(\left(1+x^2\right)^3,6x\left(1+x^2\right)^2\right)=\left(1+x^2\right)^2

 

 

\int{\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}}{\left(1+x^2\right)^2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{1+x^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(1+x^2\right)^2-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(1+x^2\right)\cdot 4x}{\left(1+x^2\right)^4}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{1+x^2}\\</p>\\<p>\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(1+x^2\right)-4x\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(1+x^2\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}\\</p>\\<p>\left(x^2-1\right)^2=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(1+x^2\right)-4x\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(1+x^2\right)^2\\</p>\\<p>x^4-2x^2+1=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}+3a_{3}x^4+2a_{2}x^3+a_{1}x^2\right)-\left(4a_{3}x^4+4a_{2}x^3+4a_{1}x^2+4a_{0}x\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(1+2x^2+x^4\right)\\</p>\\<p>x^4-2x^2+1=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}+3a_{3}x^4+2a_{2}x^3+a_{1}x^2\right)-\left(4a_{3}x^4+4a_{2}x^3+4a_{1}x^2+4a_{0}x\right)+\left(b_{1}x+2b_{1}x^3+b_{1}x^5+b_{0}+2b_{0}x^2+b_{0}x^4\right)\\</p>\\<p>x^4-2x^2+1=b_{1}x^5+\left(b_{0}-a_{3}\right)x^4+\left(2b_{1}-2a_{2}\right)x^3+\left(2b_{0}+3a_{3}-3a_{1}\right)x^2+\left(b_{1}+2a_{2}-4a_{0}\right)x+b_{0}+a_{1}</p>\\<p>

 

<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}-a_{3}=1\\2b_{1}-2a_{2}=0\\2b_{0}+3a_{3}-3a_{1}=-2\\b_{1}+2a_{2}-4a_{0}=0\\b_{0}+a_{1}=1\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=1+a_{3}\\a_{2}=0\\5a_{3}-3a_{1}=-4\\2a_{2}-4a_{0}=0\\a_{3}+a_{1}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=1+a_{3}\\a_{2}=0\\2a_{3}=-1\\a_{0}=0\\a_{1}=-a_{3}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{0}=1\\a_{2}=0\\2a_{3}=-1\\a_{0}=0\\2a_{1}=1\end{cases}\\<br>\\

 

 

 

\int{\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3-x}{\left(1+x^2\right)^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{1+x^2}}\\</p>\\<p>\int{\frac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(1+x^2\right)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3-x}{\left(1+x^2\right)^2}+\frac{1}{2}\arctan{\left(x\right)}+C\\</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.08.2015 - 11:49

  • 1

#18 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 821 postów
365
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.08.2015 - 07:58

d)    Rozkład na ułamki w poście 5

 

\int{\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>

 

R\left(x\right)=x^3\left(x^2+1\right)^2\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=3x^2\left(x^2+1\right)+2x^3\left(x^2+1\right)\cdot 2x=x^2\left(x^2+1\right)\left(3x^2+3+4x^2\right)=x^2\left(x^2+1\right)\left(7x^2+3\right)\\</p>\\<p>\gcd\left(x^3\left(x^2+1\right)^2,x^2\left(x^2+1\right)\left(7x^2+3\right)\right)=x^2\left(x^2+1\right)\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}}{x^2\left(x^2+1\right)}+\int{\frac{b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^2+1\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x^2\left(x^2+1\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x\left(x^2+1\right)+x^2\cdot 2x\right)}{x^4\left(x^2+1\right)^2}+\frac{b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^2+1\right)}\\</p>\\<p>\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x^2\left(x^2+1\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)x\left(2x^2+2+2x^2\right)}{x^4\left(x^2+1\right)^2}+\frac{b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^2+1\right)}\\</p>\\<p>\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x\left(x^2+1\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(4x^2+2\right)+\left(b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)x^2\left(x^2+1\right)}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\\</p>\\<p>x^6+x^4-4x^2-2=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^3+x\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(4x^2+2\right)+\left(b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^4+x^2\right)\\</p>\\<p>x^6+x^4-4x^2-2=\left(3a_{3}x^5+2a_{2}x^4+a_{1}x^3+3a_{3}x^3+2a_{2}x^2+a_{1}x\right)-\left(4a_{3}x^5+4a_{2}x^4+4a_{1}x^3+4a_{0}x^2+2a_{3}x^3+2a_{2}x^2+2a_{1}x+2a_{0}\right)+\left(b_{2}x^6+b_{1}x^5+b_{0}x^4+b_{2}x^4+b_{1}x^3+b_{0}x^2\right)\\</p>\\<p>x^6+x^4-4x^2-2=b_{2}x^6+\left(b_{1}-a_{3}\right)x^5+\left(b_{2}+b_{0}-2a_{4}\right)x^4+\left(b_{1}-3a_{1}-2a_{3}\right)x^3+\left(b_{0}-4a_{0}\right)x^2-a_{1}x-2a_{0}\\</p>\\<p>

 

 

<br>\\\begin{cases}b_{2}=1\\b_{1}-a_{3}=0\\b_{2}+b_{0}-2a_{4}=1\\b_{1}-3a_{1}-2a_{3}=0\\b_{0}-4a_{0}=-4\\a_{1}=0\\-2a_{0}=-2 \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{2}=1\\b_{1}=0\\a_{4}=0\\a_{3}=0\\b_{0}=0\\a_{1}=0\\a_{0}=1 \end{cases}\\<br>\\

 

 

\int{\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{x^2\left(x^2+1\right)}+\int{\frac{x^2}{x\left(x^2+1\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{x^2\left(x^2+1\right)}+\int{\frac{x}{\left(x^2+1\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^6+x^4-4x^2-2}{x^3\left(x^2+1\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{x^2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2}\ln{\left|x^2+1\right|}+C\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 12.08.2015 - 12:00

  • 1

#19 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3186 postów
2698
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.08.2015 - 10:05

f)\,\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}     Metodą Ostrogradskiego  - przez podstawienie w poście 7

 

R'(x)=\(x^4\left(x^3+1\right)^2\)'=(2x^3(x^3+1)\cdot (5x^3+2)

 

\int\frac{dx}{x^4\left(x^3+1\right)^2}=\frac{Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^3(x^3+1)}+\int\frac{Gx^3+Hx^2+Kx+J}{x(x^3+1)}dx

 

\frac{1}{x^4\left(x^3+1\right)^2}=\[\frac{Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^3(x^3+1)}\]'+\frac{Gx^3+Hx^2+Kx+J}{x(x^3+1)}

 

-----------------

 

Mariusz M mnie ubiegł a to jego rozwiązanie

 

f)

\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}\\<br>\\R\left(x\right)=x^4\left(x^3+1\right)^2\\<br>\\R'\left(x\right)=4x^3\left(x^3+1\right)^2+x^4\cdot 2\left(x^3+1\right)\cdot 3x^2\\<br>\\R'\left(x\right)=x^3\left(x^3+1\right)\left(4x^3+4+6x^3\right)=x^3\left(x^3+1\right)\left(10x^3+4\right)\\<br>\\\gcd\left(x^4\left(x^3+1\right)^2,x^3\left(x^3+1\right)\left(10x^3+4\right)\right)=x^3\left(x^3+1\right)\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=\frac{a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}}{x^3\left(x^3+1\right)}+\int{\frac{b_{3}x^3+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^3+1\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{1}{x^4\left(x^3+1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}x^4+4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x^3\left(x^3+1\right)-\left(a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x^2\left(x^3+1\right)+x^3\cdot 3x^2\right)}{x^6\left(x^3+1\right)^2}+\frac{b_{3}x^3+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^3+1\right)}\\</p>\\<p>\frac{1}{x^4\left(x^3+1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}x^4+4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x^3\left(x^3+1\right)-\left(a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(3x^2\left(2x^3+1\right)\right)}{x^6\left(x^3+1\right)^2}+\frac{b_{3}x^3+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^3+1\right)}\\</p>\\<p>\frac{1}{x^4\left(x^3+1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}x^4+4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x\left(x^3+1\right)-3\left(a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x^3+1\right)}{x^4\left(x^3+1\right)^2}+\frac{b_{3}x^3+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}{x\left(x^3+1\right)}\\</p>\\<p>\frac{1}{x^4\left(x^3+1\right)^2}=\frac{\left(5a_{5}x^4+4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)x\left(x^3+1\right)-3\left(a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x^3+1\right)+\left(b_{3}x^3+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)x^3\left(x^3+1\right)}{x^4\left(x^3+1\right)^2}\\</p>\\<p>1=\left(5a_{5}x^4+4a_{4}x^3+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^4+x\right)-\left(a_{5}x^5+a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(6x^3+3\right)+\left(b_{3}x^3+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^6+x^3\right)\\</p>\\<p>1=\left(5a_{5}x^8+4a_{4}x^7+3a_{3}x^6+2a_{2}x^5+a_{1}x^4+5a_{5}x^5+4a_{4}x^4+3a_{3}x^3+2a_{2}x^2+a_{1}x\right)-\left(6a_{5}x^8+6a_{4}x^7+6a_{3}x^6+6a_{2}x^5+6a_{1}x^4+6a_{0}x^3+3a_{5}x^5+3a_{4}x^4+3a_{3}x^3+3a_{2}x^2+3a_{1}x+3a_{0}\right)+\\</p>\\<p> \left(b_{3}x^9+b_{2}x^8+b_{1}x^7+b_{0}x^6+b_{3}x^6+b_{2}x^5+b_{1}x^4+b_{0}x^3\right)\\</p>\\<p>1=b_{3}x^9+\left(b_{2}-a_{5}\right)x^8+\left(b_{1}-2a_{4}\right)x^7+\left(b_{3}+b_{0}-3a_{3}\right)x^6+\left(b_{2}-4a_{2}+2a_{5}\right)x^5+\left(b_{1}-5a_{1}+a_{4}\right)x^4+\left(b_{0}-6a_{0}\right)x^3-a_{2}x^2-2a_{1}x-3a_{0}\\<br>\\

 

\begin{cases}b_{3}=0\\b_{2}-a_{5}=0\\b_{1}-2a_{4}=0\\b_{3}+b_{0}-3a_{3}=0\\b_{2}-4a_{2}+2a_{5}=0\\b_{1}-5a_{1}+a_{4}=0\\b_{0}-6a_{0}=0\\a_{2}=0\\a_{1}=0\\-3a_{0}=1\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\b_{0}-3a_{3}=0\\b_{2}-4a_{2}+2a_{5}=0\\b_{1}-5a_{1}+a_{4}=0\\b_{0}=6a_{0}\\a_{2}=0\\a_{1}=0\\3a_{0}=-1\end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{3}=0\\b_{2}=a_{5}\\b_{1}=2a_{4}\\b_{0}=-2\\3a_{3}=-2\\-4a_{2}+3a_{5}=0\\-5a_{1}+3a_{4}=0\\a_{2}=0\\a_{1}=0\\3a_{0}=-1 \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{3}=0\\b_{2}=0\\b_{1}=0\\b_{0}=-2\\3a_{3}=-2\\a_{5}=0\\a_{4}=0\\a_{2}=0\\a_{1}=0\\3a_{0}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}-2\int{\frac{\mbox{d}x}{x\left(x^3+1\right)}}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}-2\int{\frac{1+x^3-x^3}{x\left(x^3+1\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}-2\left(\int{\frac{\mbox{d}x}{x}}-\int{\frac{x^2}{x^3+1}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}-\frac{2}{3}\left(3\int{\frac{\mbox{d}x}{x}}-\int{\frac{3x^2}{x^3+1}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}-\frac{2}{3}\left(3\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x^3+1\right|}\right)+C\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}+\frac{2}{3}\left(\ln{\left|x^3+1\right|}-\ln{\left|x^3\right|}\right)+C\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}x}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}=-\frac{1}{3}\frac{2x^3+1}{x^3\left(x^3+1\right)}+\frac{2}{3}\ln{\left|\frac{x^3+1}{x^3}\right|}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 16.08.2015 - 23:32

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#20 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 821 postów
365
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.08.2015 - 11:24

*
Najwyższa ocena

h) Metodą Ostrogradskiego a na rozkład znajduje się w poście 9

 

\int{\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\mbox{d}x}

 

R\left(x\right)=\left(x^2+2x+2\right)^3\\</p>\\<p>R'\left(x\right)=3\left(x^2+2x+2\right)^2\left(2x+2\right)=\left(x^2+2x+2\right)^2\left(6x+6\right)\\</p>\\<p>\gcd\left(\left(x^2+2x+2\right)^3,\left(x^2+2x+2\right)^2\left(6x+6\right)\right)=\left(x^2+2x+2\right)^2\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}}{\left(x^2+2x+2\right)^2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+2x+2\right)^2-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\cdot 2\left(x^2+2x+2\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^4}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\</p>\\<p>\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(4x+4\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^2+2x+2\right)^2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\\</p>\\<p>x+2=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(4x+4\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(\left(x+1\right)^2+1\right)^2\\</p>\\<p>x+2=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(4x+4\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^4+4x^3+6x^2+4x+1+2x^2+4x+2+1\right)\\</p>\\<p>x+2=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+2x+2\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(4x+4\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^4+4x^3+8x^2+8x+4\right)\\</p>\\<p>x+2=\left(3a_{3}x^4+2a_{2}x^3+a_{1}x^2+6a_{3}x^3+4a_{2}x^2+2a_{1}x+6a_{3}x^2+4a_{2}x+2a_{1}\right)-\left(4a_{3}x^4+4a_{2}x^3+4a_{1}x^2+4a_{0}x+4a_{3}x^3+4a_{2}x^2+4a_{1}x+4a_{0}\right)+\left(b_{1}x^5+4b_{1}x^4+8b_{1}x^3+8b_{1}x^2+4b_{1}x+b_{0}x^4+4b_{0}x^3+8b_{0}x^2+8b_{0}x+4b_{0}\right)\\</p>\\<p>x+2=b_{1}x^5+\left(4b_{1}+b_{0}-a_{3}\right)x^4+\left(8b_{1}+4b_{0}-2a_{2}+2a_{3}\right)x^3+\left(8b_{1}+8b_{0}-3a_{1}+6a_{3}\right)x^2+\left(4b_{1}+8b_{0}-2a_{1}+4a_{2}-4a_{0}\right)x+\left(4b_{0}+2a_{1}-4a_{0}\right)\\</p>\\<p>

 

</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\4b_{1}+b_{0}-a_{3}=0\\8b_{1}+4b_{0}-2a_{2}+2a_{3}=0\\8b_{1}+8b_{0}-3a_{1}+6a_{3}=0\\4b_{1}+8b_{0}-2a_{1}+4a_{2}-4a_{0}=1\\4b_{0}+2a_{1}-4a_{0}=2\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{3}\\a_{2}=3a_{3}\\14a_{3}=3a_{1}\\140a_{3}-14a_{1}-28a_{0}=7\\10a_{1}-7=14a_{0}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\8b_{0}=3\\8a_{2}=9\\8a_{3}=3\\8a_{1}=14\\8a_{0}=6\end{cases}\\</p>\\<p>

 

\int{\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\cdot\frac{3x^3+9x^2+14x+6}{\left(x^2+2x+2\right)^2}+\frac{3}{8}\int{\frac{\mbox{d}x}{x^2+2x+2}}\\</p>\\<p>\int{\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\cdot\frac{3x^3+9x^2+14x+6}{\left(x^2+2x+2\right)^2}+\frac{3}{8}\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x+1\right)^2+1}}\\</p>\\<p>\int{\frac{x+2}{\left(x^2+2x+2\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\cdot\frac{3x^3+9x^2+14x+6}{\left(x^2+2x+2\right)^2}+\frac{3}{8}\arctan{\left(x+1\right)}+C</p>\\<p>


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.08.2015 - 11:53

  • 3





Tematy podobne do: Całkowanie metodą Ostrogradskiego     x