Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Ile wynosi suma liczb naturalnych

szereg suma szeregu ciąg granica -1/12

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.07.2015 - 22:24

Jak w temacie - Ile wynosi suma liczb naturalnych?

 

S=1+2+3+4+5+....=?

 

 


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.07.2015 - 13:13

Jak w temacie - Ile wynosi suma liczb naturalnych?

 

S=1+2+3+4+5+....=?

 

To jakaś prowokacja ? :P

I w ogóle pytanie ilu liczb ? Wszystkich ? xD czy n początkowych :P


Użytkownik KCN edytował ten post 17.07.2015 - 13:13

  • 0

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.07.2015 - 19:37

WSZYSTKICH :devil:

 

dla skończonej liczny elementów odpowiedz daje ciąg arytmetyczny :rofl:

 

Prowokacja... hmmm nie.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 17.07.2015 - 19:39

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.07.2015 - 23:03

A o ile można się pomylić?


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.07.2015 - 23:27

Nie można - dokładnie poproszę :)

 

Jutro dam odpowiedz, albo w niedzielę... mało nas więc dam więcej czasu na wypowiedzi :)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.07.2015 - 13:16

Suma wszystkich liczb naturalnych 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots jest szeregiem rozbieżnym. n-ta suma cząstkowa tego szeregu jest liczbą trójkątną.

pre_1437302279__ltrojkatna.jpg

Mimo to, że na pierwszy rzut oka może się wydawać, że cały szereg nie ma żadnej znaczącej wartości lub wynikiem jest \infty to regularyzacja funkcją dzeta pozwala uzyskać konkretny wynik.

 

Nie wdając się w szczegóły i może trochę upraszczając przejdźmy do obliczeń:

 

S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

 

Szereg tej jest przemienny o sumach częściowych 1 i 0

 

S_1=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots=0

 

S_1=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots=1

 

Czyli niejako mamy dwa punkty skupienia. Analiza funkcjonalna w takich przypadkach pozwala wyznaczyć jednoznaczną granicę jako średnia arytmetyczna punktów skupienia czyli

 

S_1=\frac{1}{2}

 

Ale wynik ten można uzyskać w prostszy sposób

 

1-S_1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots)=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+\ldots=S_1

 

więc 1-S_1=S_1  stąd \fbox{S_1=\frac{1}{2}}

 

Wyznaczmy teraz S_2=1-2+3-4+5-6+\ldots

 

   S_2=1-2+3-4+5-6+\ldots

     + S_2=1-2+3-4+5-6+\ldots

=  ___________________________________

2S_2=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

 

2S_2=\frac{1}{2}         więc          S_2=\frac{1}{4}

 

A teraz

 

                                                                  \re{\fbox{S_3=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\ldots}}

 

S_3-S_2=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\ldots

                  - (1-2+3-4+5-6+7-8+9-10\ldots)

=_____________________________________________

                   0+4+0+8+0+12+0+16+0+20+0+24+\ldots

              =4(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\ldots)

 

Czyli S_3-S_2=4S_3 ale wiemy, że S_2=\frac{1}{4}

 

więc

 

S_3-\frac{1}{4}=4S_3             więc          -\frac{1}{4}=3S_3

 

co daje            S_3=-\frac{1}{12}

 

                                                               \bl{\fbox{S_3=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\ldots=-\frac{1}{12}}}

 

 

Wynik o tyle zaskakujący bo

Sumujemy liczby dodatnie a wynik ujemny

Sumujemy liczny całkowite a wynik jest ułamkiem

 

Wynik ten znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak analiza zespolona, kwantowa teoria pola czy teoria strun (na podstawie tej dziedziny powstał post).

 

No cóż wynik zaskakujący ale w kosmosie nie ma prostych równoległych więc i suma dodatnich i całkowitych liczb jest ujemnym ułamkiem :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.03.2016 - 08:13

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.07.2015 - 16:07

Trochę to dziwne... :)

A to nie jest przypadkiem tak, że dodając do siebie te dwa szeregi w taki sposób w jaki to robisz zmieniasz kolejność składników, czego raczej w przypadku szeregów przemiennych robić nie wolno ? (warunkowa zbieżność) :)

 

Bo np.

 

   S_1=1-1+1-1+1-1+\ldots

+ S_1=\qquad\qquad\;\,\,-1+1-1+1-\ldots

=  ___________________________________

2S_1=0

 

S_1=0  :)


Użytkownik KCN edytował ten post 20.07.2015 - 17:42

  • 0

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.07.2015 - 19:11

No oczywiście, że normalnie nie możesz tego tak sumować. Szeregi rozbieżne i przemienne nie mają zdefiniowanej sumy.

 

Ale

 

Regularyzacja funkcją dzeta jest metodą sumowania, która przypisuje skończone wartości dla rozbieżnych szeregów lub iloczynów. Sposób ten jest obecnie powszechnie stosowany do rozwiązywania problemów fizycznych, lecz pierwotnie wywodzi się z prób nadania dokładnych znaczeń dla źle uwarunkowanych sum w teorii liczb.

 

Więc może tak: w teorii strun \sum_{n=1}^{\infty}\,n = -\frac{1}{12}    :dancer:

 

Tak czy inaczej  - ciekawe :whistle:


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.07.2015 - 19:12

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#9 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.08.2015 - 08:54

Tylko że funkcja \zeta jest zdefiniowana tą sumą dla części rzeczywistej większej od jedynki (dla jedynki mamy szereg harmoniczny)


  • 0

#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.08.2015 - 11:16

https://pl.wikipedia...+_2_+_3_+_4_+_…

 

:)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 10.08.2015 - 11:16

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską