Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez proste

Geometria

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 mmileq

mmileq

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 11 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2015 - 19:52

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez proste
<br>\\\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{-2}</p>\\<p>\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}</p>\\<p></p>\\<p>

[0,0,0] więc płaszczyzna nie istnieje ? Dobrze mi wyszło, jeśli nie może ktoś wrzucić rozwiązanie ?


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3037 postów
1408
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.06.2015 - 10:48

Proste mają te same wektory kierunkowe -  są równoległe

 

Obieramy  na prostej

 

 l_{1}: \frac{x-3}{1}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+1}{-2}

 

punkt  np.

 

 P( 3, 1, -1), a następnie przez ten punkt i prostą

 

  l_{2}: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-2} 

 

prowadzimy płaszczyznę.

 

Metoda pierwsza (wyznacznika)

 

Szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt P, więc jej równanie 

 

 A(x-3) + B(y-1) +C(z+1) =0 (1)

 

Punkt prostej

 l_{2}: Q( -1,0, 0)  

 

musi należeć do płaszczyzny, więc 

 A(-1-3) +B( 0-1) +C(0 +1) =0.

 

 -4A - B + C = 0 (2)

 

Wektor kierunkowy prostej  l_{2}: \[ 1, -1, -2\] jest prostopadły do wektora kierunkowego płaszczyzny  \[ A, B, C\] - iloczyn skalarny tych wektorów musi być równy 0

 

 1\cdot A -1\cdot B -2\cdot C =0 (3)

 

Rozwiązujemy  układ jednorodny równań  (1),(2), (3) liniowych, ze względu na A, B, C .

 

\left| \begin{array}{ccc} x-3& y-1& z+1\\ -4& -1& 1&\\ 1& -1& -2 \end{array}\right| = 0

 

Rozwijając wyznacznik na przykład według pierwszej kolumny, otrzymujemy 

 

(x-3) \left| \begin{array}{cc}-1&1\\ -1&-2 \end{array}\right| +4\left| \begin{array}{cc} y-1& z+1 \\ -1&-2 \end{array}\right|+ 1\left| \begin{array}{cc} y-1& z+1\\ -1& 1 \end{array}\right|=0

 

 (x-3)\cdot 3 +4\[ (y-1)(-2)+1(z+1)\] + (y-1)1 +1(z+1)=0

 

Równanie płaszczyzny 

 

 3x - 7y +5z +3 = 0 .

 

Metoda druga (pęku płaszczyzn)

 

Znajdujemy równanie krawędziowe prostej  l_{2}

 

\frac{x+1}{1} = \frac{z}{-2}.

 

 -2x -2 =z,\ \ 2x +z +2 = 0.

 

 \frac{y}{-1}= \frac{z}{-2}.

 

 -2y = -z, \ \ 2y - z = 0.

 

Piszemy równanie pęku płaszczyzn przesuniętych przez prostą  l_{2}

 

 2x + z +2 + k( 2y - z) = 0,\ \ k\in R (4)

 

Parametr k znajdujemy z warunku, że punkt  P= ( 3,1, -1) musi  należeć do płaszczyzny

 

 2\cdot 3 -1 +2 +k( 2+ 1) =0, \ \ k= -\frac{7}{3}. 

 

Podstawiamy  k = -\frac{7}{3} do równania (4).

 

 2x + z +2 -\frac{7}{3} \( 2y - z \) =0.

 

6x - 14 y +10z + 6 =0.

 

 3x -7y + 5z + 3 = 0.


Użytkownik janusz edytował ten post 24.06.2015 - 11:01

  • 0