Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Rozwiązanie zadania.

Teoria liczb

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 BartekXX

BartekXX

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2015 - 13:11

Witam!

Proszę o pomoc w rozwiązaniu pewnego zadania :

76594293817052377401.jpg

 

Proszę o rozwiązanie krok po kroku (opisane) 

Nie chcę odrazu wyniku, tylko obliczenia.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2015 - 17:14

Uwaga!

Regulamin punkt 8 mówi:

 

tPamiętaj o przejrzystym zapisie. O ile to możliwe, staraj się używać MimeTeX .
Szanuj czas i ułatw pracę osobie, która będzie chciała Ci pomóc. Szybciej to zrobi, gdy zadanie będzie czytelne.

Proszę poprawić zapis.

 

Zadanie jest czytelne ale to zdjęcie może zniknąć

 

\int\sqrt{1+\(-\frac{2e^x}{e^{2x}-1}\)^2}dx=\int\sqrt{1+\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}}dx=\int |\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}|dx

 

dla x>0

 

\int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx=\int \left(\frac{e^{2x}+1+e^{2x}-1}{e^{2x}-1}-1\right)dx=\int \frac{e^{2x}+1+e^{2x}-1}{e^{2x}-1}dx-\int \:1dx

 

\int \frac{e^{2x}+1+e^{2x}-1}{e^{2x}-1}dx=2\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx

 

u=e^{2x}-1:\quad \quad du=2e^{2x}dx,\:\quad \:dx=\frac{e^{-2x}}{2}du

 

=2\int \frac{e^{2x}}{u}\frac{e^{-2x}}{2}du=2\int \frac{1}{2u}du=2\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=2\frac{1}{2}\ln \left(u\right)=2\frac{1}{2}\ln \left(e^{2x}-1\right)=\ln \left(e^{2x}-1\right)+C

 

Wraz z drugą całką masz

 

\int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx=\ln \left(e^{2x}-1\right)-x+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.06.2015 - 19:03

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2015 - 17:16

Po podniesieniu do kwadratu  dodaniu do jedynki i zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy wyrażenie  

 

 \sqrt{ \( \frac{e^{2x}+1}{e^{2x} -1}\)^2} = \frac{e^{2x}+1}{|e^{2x} -1|}dx

 

Dla  x< 0 znajdujemy całkę  \int -\frac{e^{2x}+1}{e^{2x} -1}dx

 

Dla  x >0, \ \ \int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x} -1}dx

 

 \int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x} -1}dx = \int \( 1 + \frac{2}{e^{2x} -1}\)dx = x + \int \frac{2}{(e^{x}-1)(e^{x}+1)} dx =...

 

Po rozłożeniu  funkcji podcałkowej na sumę dwóch funkcji ułamkowych prostszych

 

 \frac{A}{e^{x}-1} + \frac{B}{e^{x}-1} stosujemy podstawienia:

 

  e^{x} - 1 = t,\ \ e^{x} + 1= u.


  • 2

#4 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.06.2015 - 17:43

\int\sqrt{1+\(-\frac{2e^{x}}{e^{2x}-1}\)^2}dx=\int\sqrt{1+\frac{4e^{2x}}{\(e^{2x}-1\)^2}}dx=\int\sqrt{\frac{\(e^{2x}-1\)^2+4e^{2x}}{\(e^{2x}-1\)^2}}dx=

=\int\sqrt{\frac{\(e^{2x}\)^2-2e^{2x}+1+4e^{2x}}{\(e^{2x}-1\)^2}}dx=\int\sqrt{\frac{\(e^{2x}\)^2+2e^{2x}+1}{\(e^{2x}-1\)^2}}dx=\int\sqrt{\frac{\(e^{2x}+1\)^2}{\(e^{2x}-1\)^2}}dx=

=\int\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx=\int\frac{2e^{2x}-e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx=\int\(\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}-\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}-1}\)dx=\int\(\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}-1\)dx=

=\int\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}dx-\int dx=\int\frac{\(e^{2x}-1\)'}{e^{2x}-1}dx-x=\ln\|e^{2x}-1\| -x+C


  • 2