Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Wielomian charakterystyczny, wartości własne oraz postać Jordana

Algebra liniowa

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 17.06.2015 - 16:45

Wyznaczyc wielomian charakterystyczny, wartosci własne oraz postac Jordana dla macierzy

A=\left[\begin{array}{ccc}8&4\\-9&-4\end{array}\right]

Dla kazdej z wartosci własnych podac jej krotnosc algebraiczna, geometryczna oraz przykład wektora własnego.

 

1. Wyznaczam A-\lambda I , gdzie  I - macierz jednostkowa i  \lambda - wartość własna

A-\lambda I = \left[\begin{array}{ccc}8-\lambda&4\\-9&-4-\lambda\end{array}\right]

 

2. Wyznaczam wielomian charakterystyczny det(A-\lambda I)=\lambda^2-4\lambda+4

 

3. Wyznaczam pierwiastki wielomianu charakterystycznego

\lambda^2-4\lambda+4=0

(\lambda-2)^2=0

\lambda=2

 

4. Rozwiązać układ (A-\lambda I)*v=0 , gdzie v - wektor własny

\left[\begin{array}{ccc}8-\lambda&4\\-9&-4-\lambda\end{array}\right] dla \lambda = 2 macierz ma postać \left[\begin{array}{ccc}6&4\\-9&-6\end{array}\right]

 

5. Wyznaczyć  \Delta = P^(-1)*A*P , gdzie P to macierz nieosobliwa

 

Mam problem z wyznaczeniem tej macierzy nieosobliwej

pierwiastek jest podwójny i nie mam pojęcia jak wyznaczyć te wektory własne z których powstaje właśnie ta macierz P

oraz proszę o wyznaczenie postaci Jordana

 

z góry dziękuje za pomoc

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.06.2015 - 20:12

W przypadku podwójnej wartości własnej  \lambda_{1}= \lambda_{2}=2  aby znaleźć wektory i generowane przez nie przestrzenie własne -  postępujemy w następujący sposób.

 

Znajdujemy najpierw wektor własny  odpowiadający pojedyńczej wartości własnej  \lambda_{1}= 2 

 

 \left\[ \begin{array}{cc} 6&4 \\ -9& -6 \end{array} \right\] \left\[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right \] =\left\[\begin{array}{c}0 \\ \end{array}\right \].

 

\left\{ 3x_{1} +2x_{2} =0 \\ -3x_{1} -2x_{2} =0 \right.

 

\vec{v_{1}} = \[ 1, -\frac{3}{2} \]^{T} .

 

Znajdujemy drugi wektor własny rozwiązując równanie macierzowe:

 

 \left\[ \begin{array}{cc} 6&4 \\ -9& -6 \end{array} \right\] \left\[\begin{array}{c}x \\ y \end{array}\right \] =\left\[\begin{array}{c}1 \\-\frac{3}{2} \end{array}\right \].

 

\left\{ 3x +2y =1 \\ -3x -2y = -\frac{3}{2} \right.

 

Stąd  otrzymujemy drugi wektor własny 

 

 \vec{v_{2}(x)} = \[ x,\ \ \frac{1}{2}- \frac{3}{2}x \]^{T} =\left\[\begin{array}{c}0 \\ \frac{1}{2} \end{array}\right \] +\left\[\begin{array}{c}1 \\ -\frac{3}{2} \end{array}\right \] x,\ \ x\in R.

 

Przyjmując na przykład  x= 0 otrzymujemy współrzędne drugiego wektora własnego

 

 \vec{v_{2}(0)^{T}} = \[ 0 \\ \frac{1}{2} \]^{T}.

 

Macierz przejścia   P to macierz, której kolumnami są wyznaczone wektory własne.

 

Postać Jordana macierzy  A składa się z jednej klatki Jordana wymiaru 2 ( dwa niezależne wektory własne)

 

 J_{2} = \left\[ \begin{array}{cc} 2&1\\ 0& 2 \end{array}\right \].

 

 


  • 0