Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Rozwiń funkcję w szereg Laurenta

Analiza wyższa

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 PAK

PAK

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 188 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.06.2015 - 12:24

Rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w podanym przedziale :

f(z)=\frac{2z}{z^2+1} \ 0<|z-i|<2

 

\frac{2z}{z^2+1}=\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}

 

No i teraz zaczynają się problemy.W rozwiązaniu mam napisane że \frac{1}{z-i} jest gotowy i nie trzeba z nim nic robić.Rozwijamy tylko ten pierwszy człon.Zupełnie nie wiem dlaczego.

Dalej za z_0 w którym rozwijamy przyjmuje się i też nie wiem dlaczego ,skoro to chyba powinno być dla dowolnego punktu z tego pierścienia.Potem mam dwa pokazane rozwinięcia :

a)\frac{1}{z+i}=\frac{1}{(z-i)+2i}=\frac{1}{2i}\cdot \frac{1}{1+\frac{2-i}{2i}}=\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left(\frac{z-i}{2i}\right)^n

\left|\frac{z-i}{2i}\right|<1\Rightarrow |z-i|<2 I jest napisane że to jest w naszym przedziale więc ok.

 

b)\frac{1}{z+i}=\frac{1}{(z-i)+2i}=\frac{1}{z-i}\cdot \frac{1}{1+\frac{2i}{z-1}}=\frac{1}{z-i}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left(\frac{2i}{z-i}\right)^n

\left|\frac{2i}{z-i}\right|<2\Rightarrow |z-i|>2 I podobno to rozwinięcie nic nie daje bo jest zbieżne poza podanym pierścieniem.W związku z tym mam pytanie ,czy może się zdarzyć że trafię na dwa dobre rozwiązania albo jakby mi np: tutaj wyszło że  |z-i|>1 to formalnie jest część wspólna z podanym pierścieniem i co wtedy.

 

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55