Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Różne sposoby parametryzacji koła i elipsy dla całki podwójnej

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3269 postów
2735
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.05.2015 - 07:41

*
Najwyższa ocena

W zależności od funkcji podcałkowej przydają się różne sposoby parametryzacji

 

pre_1431624447__okregi.jpg

Niebieski

Kartezjańskie

\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)dydx

 

Biegunowe

x=r\cdot cos(\alpha)\\ y=r\cdot sin(\alpha)\\ r\in [0,1]\\ \alpha\in [0,2\pi)\\ \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f(x(r,\alpha),y(r,\alpha))\cdot r d\alpha dr

 

 

Czerwony

Kartezjańskie

\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} f(x,y)dydx

 

Biegunowe (przesunięte)

{x=1+r\cdot cos(\alpha)\\y=r\cdot sin(\alpha)\\ \alpha \in [0,2\pi) \\ r\in [0,1]\\ \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,r d\alpha dr

albo (nieprzesunięte)

{x=r\cdot cos(\alpha)\\y=r\cdot sin(\alpha)\\ \alpha \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \\ r\in [0,2cos(\alpha)]\\ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2cos(\alpha)}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,r dr d\alpha

 

 

Zielony

Kartezjańskie

\int_{1}^{3}  \int_{-\sqrt{4x-x^2-3}+3}^{\sqrt{4x-x^2-3}+3}   f(x,y) dy dx

 

Biegunowe(przesunięte)

{x=2+r\cdot cos(\alpha)\\y=3+r\cdot sin(\alpha)\\ \alpha \in [0,2\pi)\\ r\in [0,1]\\ \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,r d\alpha dr

albo (wzór ogólny wyprowadziła @bb314)

\{(x-m)^2+(y-n)^2=R^2\\R<m\gr\Rightarrow\{\ x=r\cos\varphi\ \ \ \ \ y=r\sin\varphi\\\ \\\int_{arctg\frac{m n - R sqrt{m^2+n^2-R^2}}{m^2-R^2}}^{arctg\frac{m n + R sqrt{m^2+n^2-R^2}}{m^2-R^2}}  \int_{\ \ m \cos\varphi + n \sin\varphi- sqrt{R^2 - (m \sin\varphi - n \cos\varphi)^2}}^{\ \ m \cos\varphi + n \sin\varphi + sqrt{R^2 - (m \sin\varphi - n \cos\varphi)^2}}f\(x(r,\varphi),y(r,\varphi)\)\,rdrd\varphi

 

 

Żółty

Kartezjańskie

\int_{-1}^{3}  \int_{-\sqrt{2x-x^2+3}+1}^{\sqrt{2x-x^2+3}+1}   f(x,y) dy dx

 

Biegunowe (przesunięte)

{x=1+r\cdot cos(\alpha)\\y=1+r\cdot sin(\alpha)\\ \alpha \in [0,2\pi)\\ r\in [0,2]\\ \int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,r d\alpha dr

albo (nieprzesunięte)

x=r\cos\alpha\\ y=r\sin\alpha\\ \alpha\in[0,2\pi)\\ r\in\[0,cos\alpha+\sin\alpha+\sqrt{4-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}\]\\ \int_0^{2\p}\int_0^{\, \cos\alpha+\sin\alpha+\sqrt{4-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,r \,dr\, d\alpha


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.05.2015 - 21:59
Post współtworzony z dużą pomocą @bb314 - wielkie dzięki

  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3269 postów
2735
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2015 - 13:44

*
Najwyższa ocena

pre_1431952586__elip1.jpg


                                                                             Wzory odpowiednio                                                           

 

Niebieska

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

 

Czerwona

\frac{(x-5)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{16}=1

 

Żółta

\frac{x^2}{16}+\frac{(y-2)^2}{4}=1

 

Zielona

\frac{(x-8)^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1

 

Czarna

\frac{(x+2)^2}{4}+\frac{(y+4)^2}{16}=1

 

                                                                           Współrzędne kartezjańskie

 

Niebieska

\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{\frac{36-4x^2}{9}}}^{\sqrt{\frac{36-4x^2}{9}}}\, f(x,y)\,dy\,dx

 

Czerwona

\int_{3}^{7}\int_{-\sqrt{\frac{64-16(x-5)^2}{4}}+3}^{\sqrt{\frac{64-16(x-5)^2}{4}}+3}\, f(x,y)\,dy\,dx

 

Żółta

\int_{-4}^{4}\int_{-\sqrt{\frac{64-4x^2}{16}}+2}^{\sqrt{\frac{64-4x^2}{16}}+2}\, f(x,y)\,dy\,dx

 

Zielona

\int_{0}^{16}\int_{-\sqrt{\frac{576-9(x-8)^2}{64}}}^{\sqrt{\frac{576-9(x-8)^2}{64}}}\, f(x,y)\,dy\,dx

 

Czarna

\int_{-4}^{0}\int_{-\sqrt{\frac{64-16(x+2)^2}{4}}-4}^{\sqrt{\frac{64-16(x+2)^2}{4}}-4}\, f(x,y)\,dy\,dx

 

 

                                                                           Współrzędne eliptyczne

 

Dla elipsy \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 mamy

 

\{x=a\cdot r\cdot cos(\alpha)\\y=b\cdot r\cdot sin(\alpha)\\r\in[0,1]\\\alpha\in[0,2\pi)\\Jakobian = \mbox{ }\, abr

 

Niebieska

\{x=3\cdot r\cdot cos(\alpha)\\y=2\cdot r\cdot sin(\alpha)\\r\in[0,1]\\\alpha\in[0,2\pi)\\Jakobian = \mbox{ }\, abr             \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,abr d\alpha dr

 

Czerwona

\{x=5+2\cdot r\cdot cos(\alpha)\\y=3+4\cdot r\cdot sin(\alpha)\\r\in[0,1]\\\alpha\in[0,2\pi)\\Jakobian = \mbox{ }\, abr             \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,abr d\alpha dr

 

Żółta

\{x=4\cdot r\cdot cos(\alpha)\\y=2+2\cdot r\cdot sin(\alpha)\\r\in[0,1]\\\alpha\in[0,2\pi)\\Jakobian = \mbox{ }\, abr             \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,abr d\alpha dr

 

Zielona

\{x=8+8\cdot r\cdot cos(\alpha)\\y=3\cdot r\cdot sin(\alpha)\\r\in[0,1]\\\alpha\in[0,2\pi)\\Jakobian = \mbox{ }\, abr             \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,abr d\alpha dr

 

Czarna

\{x=-2+2\cdot r\cdot cos(\alpha)\\y=-4+4\cdot r\cdot sin(\alpha)\\r\in[0,1]\\\alpha\in[0,2\pi)\\Jakobian = \mbox{ }\, abr             \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}f\(x(r,\alpha),y(r,\alpha)\)\,abr d\alpha dr


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.05.2015 - 22:05

  • 4

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3269 postów
2735
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2015 - 21:23

*
Najwyższa ocena

pre_1431980481__elip2.jpg

Jeśli

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

to wzór na elipsę tylko przesuniętą o wektor w=[x_0,y_0] da nam elipsę:

\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1

to wzór na sam obrót o kąt \alpha:

\frac{(x\cdot \cos(\alpha)+y\cdot \sin(\alpha))^2}{a^2}+\frac{(y\cdot \cos(\alpha)-x\cdot \sin(\alpha))^2}{b^2}=1

Na przesunięcie i obrót

\frac{((x-x_0)\cdot \cos(\alpha)+(y-y_0)\cdot \sin(\alpha))^2}{a^2}+\frac{((y-y_0)\cdot \cos(\alpha)-(x-x_0)\cdot \sin(\alpha))^2}{b^2}=1

 

Ogólny wzór elipsy obróconej i przesuniętej (w postaci parametrycznej)  to:

 

\{x(t)=x_0+a\cdot cos(t)\cdot cos(\alpha)-b\cdot sin(t)\cdot sin(\alpha)\\ y(t)=y_0+a\cdot cos(t)\cdot sin(\alpha)+b\cdot sin(t)\cdot cos(\alpha)

gdzie:

(x_0,y_0) - śdodek elipsy

a,b - półosie elipsy

\alpha - kąt obrotu względem osi OX

 

Czerwona elipsa ma wzór

\re\{x(t)=1-cos(t)-\sqrt{3}sin(t)\\y(t)=1-sin(t)-\sqrt{3}cos(t)

 

Półosie dla tej elipsy wynoszą odpowiednio

\{a=\sqrt{3}+1\\b=\sqrt{3}-1

kąt obrotu \alpha=\frac{\pi}{4}

a środek to punkt P=(1,1)

 

 

Teraz można połączyć te dane ze wzorem powyżej

 

Elipsę

\re\{x(t)=1-cos(t)-\sqrt{3}sin(t)\\y(t)=1-sin(t)-\sqrt{3}cos(t)

można także przedstawiać jako:

 

\blue\{x(t)=1+(\sqrt{3}+1)\cdot cos(t)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-(\sqrt{3}-1)\cdot sin(t)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ y(t)=1+(\sqrt{3}+1)\cdot cos(t)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+(\sqrt{3}-1)\cdot sin(t)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

 

albo jako

 

\green\frac{((x-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+(y-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{(\sqrt{3}+1)^2}+\frac{((y-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-(x-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{(\sqrt{3}-1)^2}=1

 

Można przejść do parametryzacji :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 31.05.2015 - 18:52

  • 4

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską