Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Kula wpisana w ostrosłup prawidłowy czworokątny

Stereometria ostrosłup ostrosłup prawidłowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Girion23

Girion23

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.05.2015 - 09:03

W czworokątnym ostrosłupie prawidłowym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź podstawy ma długość 12 cm. Wyznacz promień r kuli wpisanej w ostrosłup i promień R kuli opisanej na ostrosłupie.

 

Robię rysunek, potem wyliczam punkt przecięcia się prostych od wierzchołka czworościanu u podstawy (są cztery takie) do środka przeciwległej ściany bocznej ostrosłupa. Niby przecinają się w punkcie \frac{1}{3}H, a to wychodzi \frac{8}{3}, ale nie zgadza się to z odpowiedziami, r=3cm.

 

A środek kuli opisanej na tym ostrosłupie... musi kula przechodzić przez wszystkie wierzchołki... ale nie mam pojęcia co dalej...


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.05.2015 - 09:47

pre_1430816326__opiswpis.jpg

Jeśli byś przeciął ten ostrosłup z kulą w środku płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i przez środki przeciwległych krawędzi w podstawie otrzymasz przekrój r)

 

Łatwo policzyć, że wysokość ściany bocznej wyniesie 10 cm.

 

Pole trójkąta wynosi 48 cm^2 (połowa podstawy razy wysokość) a teraz możesz użyć też takiego wzoru:

 

P=\frac{1}{2} (a+b+c)\cdot r

 

Czyli 48= \frac{1}{2} (12+10+10) \cdot r stąd r=3

__________________________________

 

Jeśli przetniesz kulę z ostrosłupem w środku płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i przeciwległe wierzchołki podstawy ostrosłupa otrzymasz przekrój R)

 

d=12\sqrt{2} przekątna kwadratu a z tw Pitagorasa l=4\sqrt{14}

 

Pole tego trójkąta wynosi 48\sqrt{2}

 

Teraz możesz skorzystac z takiego wzoru P=\frac{abc}{4R} czyli R=\frac{abc}{4(r\cdot\frac{1}{2}(a+b+c))}  bo P=\frac{1}{2} (a+b+c)\cdot r

 

wszystkie dane masz

 

48\sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{14}\cdot 4\sqrt{14}}{4R}

 

R=14


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 05.05.2015 - 10:24

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską