Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka równania różniczkowego

Rachunek różniczkowy rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Kadobe

Kadobe

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 170 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.05.2015 - 14:29

ydx +(2sqrt(xy)-x)dy=0

 

Nie mam pomysłu jakie wykonać podstawienie, w jaki sposób rozdzielić zmienne. Proszę o wskazówki.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2890 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.05.2015 - 16:01

rozwiązaniem jest funkcja w postaci uwikłanej   \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\ln Cy=0

  • 0

#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2015 - 20:48

Równanie jest jednorodne więc podstawienie y=ux

rozdzieli zmienne


  • 0

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3978 postów
4725
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.04.2017 - 22:00

\bl ydx +\(2\sqrt{xy}-x\)dy=0\ \ \ \(^{*1}\)
 
mamy równanie różniczkowe postaci     P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
\{P(x,y)=y\\Q(x,y)=2sqrt{xy}-x\gr\ \Rightarrow\ \{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=1\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=sqrt{\frac yx}-1\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\neq\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
to oznacza, że to równanie różniczkowe nie jest zupełne
żeby doprowadzić je do postaci równania różniczkowego zupełnego, trzeba pomnożyć je przez czynnik całkujący \mu
\mu\left(x,y\right)=\varphi\left(x\right)\psi\left(y\right)\ \ \ gdzie\ \ \ \varphi\left(x\right)=e^{\int{f\left(x\right)\mbox{d}x}}\ \ \ \ \psi\left(y\right)=e^{\int{g\left(y\right)\mbox{d}y}}
 
a f(x) i g(y) są tak dobrane, aby spełniona była tożsamość \frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}-\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}\equiv Q\left(x,y\right)f\left(x\right)-P\left(x,y\right)g\left(y\right)
patrząc na P(x,y),\ Q(x,y) i ich pochodne przewiduję f(x)=\frac Ax,\ \ g(y)=\frac By, więc otrzymamy
1-\(sqrt{\frac yx}-1\)\equiv\(2sqrt{xy}-x\)\cd \frac{A}{x}-y\cd\frac{B}{y}
2-sqrt{\frac yx}\equiv2A\sqrt{\frac yx}-A-B\gr\ \Rightarrow\ \{2A=-1\\-A-B=2\gr\ \Rightarrow\ \{A=-\frac12\\B=-\frac32\gr\ \Rightarrow\ \{f(x)=\frac{-1}{2x}\\g(y)=-\frac{3}{2y}
\varphi\left(x\right)=e^{\int{f\left(x\right)\mbox{d}x}}=e^{\int\(-\frac1{2x}\)dx}=e^{-\frac12\ln x}=x^{-\frac12}=\frac{1}{sqrt x}
\psi\left(y\right)=e^{\int{g\left(y\right)\mbox{d}y}}=e^{\int\(-\frac3{2y}\)dy}=e^{-\frac32\ln y}=y^{-\frac32}=\frac{1}{y\sqrt y}
\mu\left(x,y\right)=\varphi\left(x\right)\psi\left(y\right)=\frac{1}{sqrt x}\cd\frac{1}{y\sqrt y}\gr\ \Rightarrow\ \mu\left(x,y\right)=\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}
przez ten czynnik całkujący mnożymy równanie  \ \(^{*1}\)
\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd ydx+\(\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd2sqrt{xy}-\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd x\)dy=0\gr\ \Rightarrow\ \bl\frac1{sqrt{xy}}dx +\(\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\)dy=0\ \ \ \ \(^{*2}\)
mamy nowe P i Q
\{P(x,y)=\frac1{sqrt{xy}}\\Q(x,y)=\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\gr\ \Rightarrow\ \{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=-\frac{1}{2y\sqrt{xy}}\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=0-\frac{1}{2y\sqrt{xy}}\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
to oznacza, że jest to równanie różniczkowe zupełne, więc zachodzą równości
\frac{\partial F\left(x,y\right)}{\partial x}=P\left(x,y\right)\ \ \ \(^{*3}\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial F\left(x,y\right)}{\partial y}=Q\left(x,y\right)\ \ \ \(^{*4}\)
z \(^{*3}\) mamy
F\left(x,y\right)=\int{P\left(x,y\right)\mbox{d}x}+\varphi_1\left(y\right)=\int\frac1{sqrt{xy}}dx+\varphi_1(y)=\frac{2sqrt x}{sqrt y}+\varphi_1(y)\ \ \ \(^{*5}\)
 
\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=-\frac{sqrt x}{y\sqrt y}+\varphi'_1(y)
na mocy \(^{*4}\) mamy
-\frac{sqrt x}{y\sqrt y}+\varphi'_1(y)=\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\gr\ \Rightarrow\ \varphi'_1(y)=\frac2y\gr\ \Rightarrow\ \varphi_1(y)=\int\frac2ydy\gr\ \Rightarrow\ \varphi_1(y)=2\ln Cy
podstawiamy do \(^{*5}\) 
F(x,y)=\frac{2sqrt x}{sqrt y}+2\ln Cy=0
czyli rozwiązaniem jest funkcja w postaci uwikłanej   \re \sqrt {\frac{x}{y}}+\ln Cy=0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..