Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Dwa różne pierwiastki należące do przedziału (0,2)

Równania i nierówności Układy równań

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
11 odpowiedzi w tym temacie

#1 Girion23

Girion23

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2015 - 13:07

Wyznacz te wartości parametru k, dla których równanie (k+1)x ^{2}-2x+k-1=0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (0,2).

 

 I warunek, ramiona paraboli skierowane do góry.

 

k+1\neq0

k+1>0

\Delta>0

0<p<2

 

 

 

x_1>0\wedgex_2<2 ??? Jak to zapisać?


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 26.03.2015 - 19:34
Poprawa zapisu

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.03.2015 - 13:19

\bl f(x)=(k+1)x^2-2x+k-1

 

ramiona mogą być skierowane do góry lub do dołu, więc muszą być spełnione poniższe warunki

 

\{k+1>0\\\Delta>0\\0<\frac1{k+1}<2\\f(0)>0\\f(2)>0       \vee       {\{k+1<0\\\Delta>0\\0<\frac1{k+1}<2\\f(0)<0\\f(2)<0

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

Użytkownik bb314 edytował ten post 27.03.2015 - 09:59

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2015 - 13:47

@Giron Trochę masz niejasny zapisz? co stoi przy x^2??

 

k+10    czy    k+1.

 

Jeśli to pierwsze to musisz nanieść poprawki.

 

Pomocne są wzory Vietae

 

x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

 

czyli jeśli chcesz x_1,x_2>0 i x_1,x_2<2, to iloczyn musi być w przedziale...


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 26.03.2015 - 13:59

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Girion23

Girion23

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2015 - 17:04

@Jarek, ma być k+1.

 

Czyli ma być warunek:

x_{1}\cdot x_{2}>0

x_{1} \cdot x_{2}<0

 

Bo tego zapisu bb314 w ogóle nie rozumiem, tych warunków ostatnich dwóch... f(0)>0 why? przecież ramiona są do góry...

 

edit: a już, rozumiem, jeśli będzie w punkcie 0 wartość większa od zera, to automatycznie nie będzie to miejsce zerowe... ale wolałbym poznać to z tym wzorem viete'a.

 

 


  • 0

#5 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.03.2015 - 18:05

czyli jeśli chcesz x_1,x_2>0 i x_1,x_2<2, to iloczyn musi być w przedziale...

 

Nie musi, np.  \{x_1=1,8\\x_2=1,9\gr\ \Rightarrow\ \{x_1\in(0,2)\\x_2\in(0,2)    ale    \bl x_1x_2\notin(0,2)

 

 

U mnie warunek  0<\frac{1}{k+1}<2  oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli  =\frac{-b}{2a}\in(0,2)

 

jeśli ramiona paraboli są do góry, to    gdy\ f(0)>0\ \Rightarrow\ x_1>0\\gdy\ f(2)>0\ \Rightarrow\ x_2<2

 

jeśli ramiona paraboli są w dół, to        gdy\ f(0)<0\ \Rightarrow\ x_1>0\\gdy\ f(2)<0\ \Rightarrow\ x_2<2

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2015 - 19:35

Basiu nie pisałem, że ma być w przedziale (0,2) tylko poddałem myśl do dokończenia: konkluzja...w przedziale (0,4)

 

Jeśli ramowa są do góry i chcesz mieć dwa miejsca zerowe w przedziale (0,2) to znaczy że wartości dla x=0 i dla x=2 muszą być większe od zera - to właśnie zawarła @Basia314 w ostatnich warunkach.

 

W ostateczności dostaniesz k\in(1,\sqrt{2})

 

Możesz też użyć warunków

 

\{\Delta>0\mbox{ dwa pierwiastki}\\f(0)>0\mbox{ wyjasnione wyzej}\\f(2)>0\\q=\frac{-\Delta}{4a}<0\mbox{ wierzcholek ponizej osi wraz z powyzszymi warunkami dale Ci pierwiastki w pozadanym przedziale}

 

dla k<1 masz jeden z pierwiastków na minusie

dla k>\sqrt{2} nie ma pierwiastków bo delta ujemna

 

Założyłem, że ramiona mają być do góry (tak chyba chciałeś)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.03.2015 - 00:49

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Girion23

Girion23

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 96 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2015 - 19:56

@Jarek, a czemu w przedziale (0,4)?


  • 0

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2015 - 20:02

x_1, x_2 maksymalnie równe (prawie) 2 więc iloczyn x_1\cdot x_2 prawie 4

 

Oba dodatnie więc iloczyn większy od 0


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 26.03.2015 - 20:02

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#9 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2015 - 00:34

Wyznacz te wartości parametru k, dla których równanie (k+1)x^2-2x+k-1 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału  (0;2)

------------------------------------------------ 
a mnie widzi się to np. tak :  niech   f(x)=(k+1)x^2-2x+k-1 , to warunki zadania spełnia układ nierówności
 
\re \{\Delta>0\\ af(0)>0\\ af(2)>0\\ 0<x_w<2  \ \bl\Leftrightarrow\ \{b^2-4ac=4-4(k+1)(k-1)>0\\ (k+1)(k-1)>0\\ (k+1)(4(k+1)-2\cd2+k-1)>0\\ 0<\frac{-b}{2a}= \frac{2}{2(k+1)}<2  \ \bl\Leftrightarrow\ \{1-(k^2-1)>0\\ k^2-1>0\\ (k+1)(5k-1)>0\ /:5\\ 0<\frac{1}{k+1}<2  \ \bl\Leftrightarrow\ \{0<k^2-1<1\ /+1\\ (k+1)(k-\frac{1}{5}>0\\ 0<k+1<2(k+1)^2\ /:(k+1)  \ \bl\Leftrightarrow\
 
 \bl\Leftrightarrow\ \{1<k^2<2\\ (k+1)(k-\frac{1}{5}>0\\ 0<1<2(k+1)  \ \bl\Leftrightarrow \{1<|k|<\sqrt{2}\\ k<-1\ \vee\ k>\frac{1}{5}\\ k+1>\frac{1}{2}  \ \bl\Leftrightarrow \{-\sqrt{2}<k<-1\ \vee\ 1<k<\sqrt{2}\\ k<-1\ \vee\ k>\frac{1}{5}\\ k>-\frac{1}{2}  \bl\Leftrightarrow   \ \re (1;\sqrt{2}). ... ;)

--------------------------------------- 

 

 


Użytkownik tadpod edytował ten post 27.03.2015 - 15:26

  • 1

#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2015 - 00:55

@Todpod zmieniłeś minus na plus w wyrazie wolnym i choć część się zgadza to nie wszystko. Ujemne rozwiązanie jest wykluczone przez ostatni z warunków w klamrze.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.03.2015 - 15:23

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#11 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.03.2015 - 09:50

\{-\sqrt{2}<k<-1\ \vee\ 1<k<\sqrt{2}\\ k<-1\ \vee\ k>\frac{1}{5}\\ k>-\frac{1}{2}  \bl\Leftrightarrow -\sqrt{2}<k<-1\ \vee\ 1<k<\sqrt{2}  \bl\Leftrightarrow \ \re k\in(-\sqrt{2};-1) \cup (1;\sqrt{2}). ;)

 

\bl k>-\frac12 wyklucza ujemną część rozwiązania (pierwsza w nocy to kiepska pora)  ;)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#12 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2015 - 14:17

racja, dziękuję za uwagi i przepraszam; już mniej to wszystko mnie ...;) bawi; pozdrawiam


  • 1