Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Zbiory 2

Topologia

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
7 odpowiedzi w tym temacie

#1 emi30

emi30

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 14 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.03.2015 - 12:29

Udowodnić

 |A| = |B| = X_{0} (alef zero) ----> |A\cup B| = X_{0} (alef zero)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.03.2015 - 14:11

Suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

 

\aleph_{0}     komenda \aleph_{0}


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.03.2015 - 14:22

Suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

 

\aleph_{0}     komenda \aleph_{0}

 

Co można fajnie pokazać :)

 

Niech będą dane zbiory A,B i niech cardA=\aleph_{0} i cardB=\aleph_{0}

Wobec tego A=\{a_1,a_2,a_3,...\} B=\{b_1,b_2,b_3,...\}

Bez straty ogólności możemy założyć że A\cap B = \emptyset

Oczywiście możemy dowolnie uporządkować elementy sumy zbiorów więc:

A\cup B =\{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,...\}

 

I możemy wprowadzić następujące odwzorowanie:

 

f(k)=\{a_n \ dla \ k=2n-1\\b_n \ dla \ k=2n gdzie n\in \mathbb{N}

 

A ponieważ odwzorowanie jest jakie jest (tu autor tematu może się namyślić), mamy twierdzenie udowodnione :)


Użytkownik KCN edytował ten post 08.03.2015 - 14:23

  • 0

#4 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.03.2015 - 20:30

Bez straty ogólności możemy założyć że A\cap B = \emptyset

 

No przy takim założeniu to jak najbardziej tracimy ogólność.


  • 0

#5 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.03.2015 - 20:55

No przy takim założeniu to jak najbardziej tracimy ogólność.

No niekoniecznie, bo:

A,B \subset A\cup B

No i A\cup B "większy" niż w przypadku rozłączności nie będzie.

Więc w dowolnym innym przypadku (tj jeśli zbiory nie będą rozłączne) moc sumy będzie tak samo alef zero.


Użytkownik KCN edytował ten post 08.03.2015 - 20:55

  • 0

#6 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.03.2015 - 10:57

Może wyjaśnijmy pewne kwestie. Jak piszesz, że zakładasz coś bez utraty ogólności rozważań, to znaczy, że dalsze Twoje rozumowanie przechodzi w pozostałych sytuacjach po ew. zmianie oznaczeń albo innej "automatycznej" korekcie.

 

Niestety funkcja f, którą tworzysz, przestaje być bijekcją w przypadku A \cap B \neq \emptyset i trochę trzeba się pogimnastykować, żeby to załatać. Stąd, podtrzymuję moją wcześniejszą uwagę o straconej ogólności :)


  • 1

#7 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.03.2015 - 11:09

Niestety funkcja f, którą tworzysz, przestaje być bijekcją 

 

No dobra, nie dopatrzyłem tego elementu :P...

To w takim razie zastępując "nie tracenie ogólności" pozostaję przy tym szczególnym przypadku. Z niego dalej można (myślę) pokazać że nawet bez rozłączności moc zbioru będzie taka sama. Ew. wdać się w przypadki kiedy: a) zbiory są rozłączne, b) ich część wspólna jest zbiorem skończonym, c) zbiorem przeliczalnym.  Przy okazji upewnić się, czy któryś przypadek można wywalić po drodze...


Użytkownik KCN edytował ten post 09.03.2015 - 11:14

  • 0

#8 Stefan101

Stefan101

    Ułamek

  • Jr Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.04.2017 - 05:02

takie obliczenia to zawsze trudne jest


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.04.2017 - 10:29
spam

  • 0





Tematy podobne do: Zbiory 2     x