Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Zbadaj ciągłość funkcji

Funkcje

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Patulka95

Patulka95

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 66 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.03.2015 - 15:58

f: [0,1]\rightarrow R

 

f(x)= \{ 1, x\in Q \\ 0, x\in R\Q


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.03.2015 - 20:16

f: [0,1]\rightarrow R

 

f(x)= \{ 1, x\in Q \\ 0, x\in R\Q

 

Każda liczba niewymierna może być przedstawiona jako granica pewnego ciągu liczb wymiernych tj.

\lim q_n=q gdzie q_n \in \mathbb{Q} n\in \mathbb{N} oraz q\in \mathbb{R}\ \mathbb{Q}

Dalej już pokombinuj sama ;)


Użytkownik KCN edytował ten post 06.03.2015 - 20:20

  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.03.2015 - 20:17

Jest to funkcja Dirichleta - no jej kawałek

 

Funkcja nieciągła w każdym punkcie dziedziny. Jako ciekawostkę mogę podać, że jest okresowa, przy czym każda liczba wymierna jest jej okresem.  Nie ma też okresu podstawowego


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Patulka95

Patulka95

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 66 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.03.2015 - 21:26

Napisaliście tyle co ja wiedziałam :P Czyli korzystać tutaj wygodniej z def. Heinego?


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.03.2015 - 22:41

Tak jest wygodniej  wykorzystać def Heinego

 

Możemy wziąć dowolne x_0\in \mathbb{R} i wziąć dwa ciągi: (a_n)_{n\in \mathbb{N}} i (b_n)_{n\in \mathbb{N}}  takie, że:
 
\bigwedge_{n\in \mathbb{N}} a_n\in \mathbb{Q}
\bigwedge_{n\in \mathbb{N}} b_n\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}

\lim_{x\to \infty} a_n=\lim_{x\to \infty} b_n=x_0
i

\lim_{x\to \infty} f(a_n)=1

\lim_{x\to \infty} f(b_n)=0
gdzie f(x) to nasza funkcja.

Ponieważ oczywiście 0\neq 1 to z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie wynika, że dla dowolnego argumentu nie istnieje granica funkcji w punkcie równym temu argumentowi, więc też funkcja nie może być w tym punkcie ciągła.

 

Musisz to przerobić do swojego przykładu.


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 KCN

KCN

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 902 postów
366
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.03.2015 - 23:10

Albo tak jak pisałem ze zbieżnością do liczb niewymiernych. Ponieważ ciąg liczbowy będzie składał się z liczb wymiernych więc f(a_n)=1 no a granica takiego stałego ciągu ? A jak się to będzie miało do wartości tej funkcji w punkcie który bedzie liczbą niewymierną ?

Oczywiscie sposób JarkaZulusa też jest ok, gdyż zbiór lb wymiernych i niewymiernych są gęste w \mathbb{R}


Użytkownik KCN edytował ten post 06.03.2015 - 23:16

  • 0





Tematy podobne do: Zbadaj ciągłość funkcji     x