Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Zbiory przeliczalne/nieprzeliczalne

Elementy teorii zbiorów

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
17 odpowiedzi w tym temacie

#1 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.02.2015 - 16:41

Dla liczby rzeczywistej  x symbol  [x] oznacza największą liczbę całkowitą niewiekszą od  x .

Dla funkcji  f: \mathbb{R} -> \mathbb{R} danej wzorem  f(x)=[x] i dla funkcji  g: \mathbb{R} -> \mathbb{R} danej wzorem  g(x)=x-[x] wykazać, że  f -1(3)  jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz że g -1(\frac{1}{2}) jest zbiorem przeliczalnym. Uzasadnić odpowiedź.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5950 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.02.2015 - 18:56

tak łopatologicznie

 

f^{-1}(3)=\{x\in\mathbb{R}: [x]=3\}=(2,3]. Dowodzi się, iż dowolny przedział jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, a więc nieprzeliczalny

g^{-1}(\frac{1}{2}=\{x\in \mathbb{R}:x-[x]=\frac{1}{2}\}= \{x\in \mathbb{R} : \{x\}=\frac{1}{2}\}= ......


  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ


#3 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.02.2015 - 08:43

Czyli (2,3] -> (0,1] -> (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] -> (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] -> \mathbb{R}

 

(2,3] -> (0,1]   czyli funkcja  f(x)=-2x

 

 (0,1] -> (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] czyli funkcja q(x)=-\frac{1}{2}x

 

 (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] -> (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] czyli funkcja  h(x)=\pi x

 

 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] -> \mathbb{R} czyli funkcja  p(x)=tgx

 

dobrze myśle?

 

a w funkcji g nie rozumiem dlaczego w drugim nawiasie klamrowym jest {x}=\frac{1}{2}

prosze o wyjaśnienie


  • 0

#4 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5950 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.02.2015 - 19:10

przyznam, że nie rozumiem twoich dywagacji z tymi przedziałami...dowód, że odcinek [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym znajdziesz w każdym podręczniku do wstępu do matematyki i tym podobnych analogiczny dowód poprowadzisz dla dowolnego przedziału

 

przez \{x\} oznaczamy część ułamkową liczby zatem przeciwobraz  g^{-1}(\{\frac{1}{2}\}) to te liczby których część ułamkowa jest równa \frac{1}{2} pozostawiam do zastanowienia dlaczego tu jest przeliczalne :)


  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ


#5 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.02.2015 - 21:05

takie przekształcenia robiliśmy na ćwiczeniach, a mianowicie udowadnialismy, że przedzial (0,1) jest rownoliczny z  \mathbb{R}

i według prowadzącego było to poprawnie

 

natomiast co do tej funkcji g to nie mam pojęcia dlaczego jest przeliczalny..

 


  • 0

#6 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2015 - 10:04

Chyba raczej f^{-1}(3)=\[3,\,4) i z takim przedziałem trzeba będzie pracować dalej  :)

Ale już abstrahując od tego, tych przekształceń również i ja nie rozumiem. Cały trick polega na wyznaczeniu bijekcji ze zbioru (2,\,3] w zbiór \mathbb{R}. Łatwo sprawdzić, że (2,\,3]\,\tilde\,(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}], bo jest to zwykłe odwzorowanie liniowe. Ale jak chcesz teraz odwzorować taki przedział na cały zbiór liczb rzeczywistych z wykorzystaniem funkcji \tan x, to zobacz, że problem jest dla \frac{\pi}{2}, dla której tangens jest nieokreślony. Ale sposób jest dobry - dla tej konkretnej wartości trzeba tylko zastosować mały "trick".

 

Co do funkcji g(x), najpierw pokaż, jak dokładnie wygląda ten zbiór. Generalnie można zapamiętać bardzo intuicyjną definicję zbiorów przeliczalnych, z której wręcz wynika nazwa takich zbiorów - możesz wskazywać paluchem kolejne wartości ze zbioru i je "zliczać". Jeżeli masz zbiór \{1,\,4,\,8,\,10\}, to możesz wskazać paluchem, że 1 to element pierwszy, 4 to element drugi itd. Jeżeli masz zbiór \{1,\,10,\,100,\,1000,\,...\}, czyli zbiór nieskończony, jest on również przeliczalny - możesz wskazywać kolejne wartości i je nazywać. Natomiast jeżeli masz natomiast jakikolwiek przedział, np. \[0,\,1\], nie jesteś w stanie wskazać kolejnych elementów. Jak wskażesz i \frac{1}{2}, to między nimi jest nieskończenie wiele liczb, które też powinieneś jakoś wskazać. Dlatego ten przedział jest nieprzeliczalny.


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#7 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2102 postów
1006
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2015 - 16:57

 Generalnie można zapamiętać bardzo intuicyjną definicję zbiorów przeliczalnych, z której wręcz wynika nazwa takich zbiorów - możesz wskazywać paluchem kolejne wartości ze zbioru i je "zliczać". Jeżeli masz zbiór \{1,\,4,\,8,\,10\}, to możesz wskazać paluchem, że 1 to element pierwszy, 4 to element drugi itd. Jeżeli masz zbiór \{1,\,10,\,100,\,1000,\,...\}, czyli zbiór nieskończony, jest on również przeliczalny - możesz wskazywać kolejne wartości i je nazywać. Natomiast jeżeli masz natomiast jakikolwiek przedział, np. \[0,\,1\], nie jesteś w stanie wskazać kolejnych elementów. Jak wskażesz i \frac{1}{2}, to między nimi jest nieskończenie wiele liczb, które też powinieneś jakoś wskazać. Dlatego ten przedział jest nieprzeliczalny.

 

Zdecydowanie odradzam takie intuicje. Jak mamy [0,1] \cap \mathbb{Q} to przy Twoim rozumowaniu to byłby zbiór nieprzeliczalny...


  • 0

#8 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2015 - 18:23

Rzeczywiście, może parę moich ostatnich zdań jest raczej niefortunnie sformułowanych. W mojej głowie brzmiało to lepiej :P


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#9 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.02.2015 - 11:27

Czyli funkcja  g^{-1}(\frac{1}{2})=(0,1) ?


  • 0

#10 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2015 - 11:37

Funkcja g(x) to część ułamkowa, więc np. g(2.7)=0.7, g(3.1)=0.1 itd. Dla liczb ujemnych jest to trochę mniej intuicyjne, bo np. g(-3.2)=0.8, ale to w tej chwili jest jest aż tak bardzo istotne. To w takim razie dla jakich liczb x zachodzi g(x)=\frac{1}{2}?


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#11 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.02.2015 - 15:11

wydaje mi się że dla wszystkich liczb całkowitych?

czyli  \mathbb{Z} \mathbb{N}

Zbiór przeliczalny to taki który jest równoliczny z  \mathbb{N}

z tego wynika ze g(x) jest zbiorem przeliczalnym

 

tak?

 

i prosze o wyjaśnienie dlaczego przedział funkcji  f^{-1} jest [3,4) a nie (2,3] ?


Użytkownik malaczarna edytował ten post 27.02.2015 - 16:40

  • 0

#12 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2015 - 18:52

Chyba nie do końca widzę, że wiesz, czym jest część ułamkowa. Masz zdefiniowaną funkcję g(x)\,=\,x\,-\,\[x\], gdzie \[x\] oznacza tzw. podłogę, czyli właśnie największą możliwą liczbę całkowitą niewiększą od x (co zresztą masz podane w zadaniu). Podstaw sobie parę wartości pod x i zobacz, co ci wychodzi, regułę bardzo łatwo zauważyć. Na przykład:

 

g(4.6)\quad=\quad4.6\,-\,\[4.6\]\quad=\quad4.6\,-\,4\quad=\quad0.6

 

g(12.2)\quad=\quad12.2\,-\,\[12.2\]\quad=\quad12.2\,-\,12\quad=\quad0.2

 

Ty natomiast masz znaleźć takie liczby x, dla których g(x)\quad=\quad \frac{1}{2}\quad=\quad0.5. A taką liczbą jest dowolna liczba, której część ułamkowa wynosi właśnie tyle, czyli 0.5. A jakie to mogą być liczby?

 

Co do pytania odnośnie tego przedziału - szukamy liczb, których "zaokrąglenie w dół" daje 3. A takie liczby są właśnie w przedziale \[3,\,4\), np.:

 

\[2.8\]\quad=\quad 2\\\[2.9\]\quad=\quad 2\\\[3\]\quad=\quad 3\\\[3.5\]\quad=\quad 3

 

... i tak dalej aż do liczby 4, której zaokrąglenie w dół daje 4 (dlatego przedział jest otwarty z prawej strony).


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#13 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.02.2015 - 23:17

czyli zakładam ze  a\in \mathbb{Z} i definiuje x:=a+0,5

np a=2 to x=2,5 a czesc ulamkowa wynosi 0,5

hmm?


  • 0

#14 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2015 - 08:50

Super, właśnie o to chodziło :) Można to zapisać bardziej formalnie w następujący sposób:

g^{-1}\(\{\frac{1}{2}\}\)\quad=\quad\{x\in\mathbb{R}:\,x=k+\frac{1}{2},\,k\in\mathbb{Z}\}

A teraz stwierdzenie, czy ten zbiór jest przeliczalny, nie powinno juz stanowic większego problemu :)
  • 1
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#15 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 28.02.2015 - 16:39

więc można najpierw udowodnic że  k \in \mathbb{Z} jest przeliczalne

a nastepnie wykazac ze liczba  k+\frac{1}{2} tez jest przeliczalna ?


  • 0

#16 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5950 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 28.02.2015 - 16:42

Oczywiście ;)

 

chociaż na dobrą sprawę dowód, że \mathbb{Z} jest przeliczalny jest znany, a zbiór \{x\in \mathbb{R}: x=k+\frac{1}{2}\} jest równoliczny z \mathbb{Z} (łatwo nawet wskazać odpowiednią bijekcję przekształcającą jeden zbiór w drugi)


Użytkownik niki87 edytował ten post 28.02.2015 - 18:25

  • 1

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ


#17 malaczarna

malaczarna

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.03.2015 - 19:42

Dziekuje za pomoc :)


wiec { x\in \mathbb{R} : x=k+\frac{1}{2} } ~  \mathbb{Z} istnieje bijekcja poprzez funkcje h(x)=x+\frac{1}{2} ?


Użytkownik malaczarna edytował ten post 01.03.2015 - 19:43

  • 0

#18 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5950 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.03.2015 - 19:58

dokładnie!


  • 1

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ