Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Czworokąt wpisany w okrąg

Planimetria i przekształcenia geometryczne

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
12 odpowiedzi w tym temacie

#1 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.02.2015 - 21:34

W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe oraz na tym czworokącie można opisać okrąg o środku w punkcie O. udowodnij, że łamana AOC dzieli czworokąt ABCD na dwie figury o równych polach.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 24.02.2015 - 22:09

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2015 - 23:49

W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe oraz na tym czworokącie można opisać okrąg o środku w punkcie O. udowodnij, że łamana Abc dzieli czworokat ABCD na dwie figury o równych polach.

Treść zadania niejasna - co z tą łamaną?


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.02.2015 - 09:04

łamana AOC miało byc


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.02.2015 - 13:32

O teraz lepiej

 

tw. Ptolemeusza

W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków

|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|

 

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:
Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

 

Wiemy także, że czworokąt można wpisać w oktąg tylko jeśli suma przeciwległych kątów sumuje się do 180^{\circ}


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.02.2015 - 20:53

taki ten dowód?


  • 0

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.02.2015 - 22:31

Nie, to była wskazówka, choć jak to rozpisałem to szczerze mało pomocna.

 

Może tak będzie prościej

pre_1424814940__czworwkole.jpg

Pole czworokąta AOCB to suma pól dwóch trójkątów

 

P_{AOCB}=P_{AOC}+P_{ABC}=\frac{1}{2}|AC|\cdot |EF|+\frac{1}{2}|AC|\cdot |BE|=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BF|

(wysokość \triangle AOC to wynosi tyle co EF zrzutowane)

 

Ale punkt F to środek przekątnej BD (bo \triangle BOD jest równoramienny (promienie)) więc

 

\frac{1}{2}|AC|\cdot |BF|=\frac{1}{4}|AC|\cdot |BD|=\frac{1}{4}|AC|\cdot \(|BE|+|ED|\)=\frac{1}{4}|AC|\cdot |BE|+\frac{1}{4}|AC|\cdot |ED|=

 

=\frac{1}{2}\(\frac{1}{2}|AC|\cdot |BE|\)+\frac{1}{2}\(\frac{1}{2}|AC|\cdot |ED|\)=\frac{1}{2}P_{ABC}+\frac{1}{2}P_{ADC}=\frac{1}{2}P_{ABCD}

 

Czyli pole jednej części to polowa pola całego czworokąta.

 

Można to jeszcze skrócić:

 

Wszakże :) \frac{1}{4}|AC|\cdot |BD|=\frac{1}{2}\frac{e\cdot f}{2}=\frac{1}{2}P_{ABCD} gdzie |AC|=e, |BD|=f e,f- przekątne przecinające się pod kątem prostym.

 

Koniec dowodu :D


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.02.2015 - 02:46

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.02.2015 - 23:33

Warto się jeszcze zastanowić, czy zawsze łamana AOC leży w całości wewnątrz czworokąta (okaże się, że tak). Bo gdyby tak nie było, to trzeba ten przypadek oddzielnie potraktować.


  • 0

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.02.2015 - 23:52

Nie zastanawiałem się nad tym :) ale chyba będzie tak:

 

Łamana AOC mogła by nie zawierać się w całości w czworokącie tylko gdyby punkty ABCD należały do jednej połówki koła a to z kolei przeczy temu, że przekątne przecinają się pod kątem prostym.


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#9 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.02.2015 - 23:54

No właśnie chodzi o podanie konkretnego argumentu, dlaczego to "przeczy temu, że przekątne przecinają się pod kątem prostym."


  • 0

#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.02.2015 - 00:28

Jeżeli cięciwa e jest prostopadła do cięciwy g to albo tworzą trójkąt prostokątny (zawierają się w jednej połówce koła) (ale wtedy nie mamy czworokąta), albo wyznaczają czworokąt.

 

Aby powstał czworokąt musimy dla cięciwy e wyznaczyć równoległą do cięciwy g cięciwę f, która będzie dłuższa a tym samym czworokąt rozpięty na tych przekątnych nie zmieści się na jednej połówce koła.

 

Nic elokwentniejszego teraz nie wymyśle :D może koledzy pomogą.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.02.2015 - 02:46

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#11 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2015 - 00:34

Raczej nie można tego zaliczyć jako precyzyjnej argumentacji :) Mogę dać wskazówkę, jak ja bym to robił, jeśli jest potrzeba.


  • 0

#12 Absynt

Absynt

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 17 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2015 - 13:37

Skoro czworokąt jest wpisany w okrąg to suma przeciwległych katów wynosi 180, a to oznacza, że któryś z trójkatów ABC lub ACD jest ostrokątny a ponieważ są wpisane w ten sam okrag to środek okręgu jest wewnątrz trójkata ostrokatnego, czyli wewnatrz czworokata. Do tego dochodzi też fakt, że przekatne przecinają się pod kątem prostym i można przeprowadzić dodatkową analizę.


  • 0

#13 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2015 - 17:01

 suma przeciwległych katów wynosi 180, a to oznacza, że któryś z trójkatów ABC lub ACD jest ostrokątny

 

No to akurat nie jest prawda, ale w tym kierunku trzeba iść.

 

Taki argument wydaje się być całkiem elegancki:

 

Skoro |\angle ABC|+|\angle CDA|=180^{\circ} , to można bez straty ogólności przyjąć, że |\angle CDA| \le 90^{\circ}.

 

Ale skoro \Delta DEC jest prostokątny, to |\angle ECD| < 90^{\circ} i podobnie |\angle EAD| < 90^{\circ} . Czyli \Delta ADC jest ostrokątny i wtedy O \in \Delta ADC lub jest prostokątny i wtedy O \in AC.

 

W obu przypadkach pokazaliśmy, że punkt O leży wewnątrz czworokąta ABCD.


  • 1