W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe oraz na tym czworokącie można opisać okrąg o środku w punkcie O. udowodnij, że łamana AOC dzieli czworokąt ABCD na dwie figury o równych polach.
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 24.02.2015 - 22:09
Napisano 22.02.2015 - 21:34
W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe oraz na tym czworokącie można opisać okrąg o środku w punkcie O. udowodnij, że łamana AOC dzieli czworokąt ABCD na dwie figury o równych polach.
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 24.02.2015 - 22:09
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 22.02.2015 - 23:49
W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe oraz na tym czworokącie można opisać okrąg o środku w punkcie O. udowodnij, że łamana Abc dzieli czworokat ABCD na dwie figury o równych polach.
Treść zadania niejasna - co z tą łamaną?
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 23.02.2015 - 09:04
łamana AOC miało byc
Napisano 23.02.2015 - 13:32
O teraz lepiej
tw. Ptolemeusza
W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:
Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.
Wiemy także, że czworokąt można wpisać w oktąg tylko jeśli suma przeciwległych kątów sumuje się do
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 24.02.2015 - 20:53
taki ten dowód?
Napisano 24.02.2015 - 22:31
Nie, to była wskazówka, choć jak to rozpisałem to szczerze mało pomocna.
Może tak będzie prościej
Pole czworokąta AOCB to suma pól dwóch trójkątów
(wysokość to wynosi tyle co zrzutowane)
Ale punkt F to środek przekątnej BD (bo jest równoramienny (promienie)) więc
Czyli pole jednej części to polowa pola całego czworokąta.
Można to jeszcze skrócić:
Wszakże gdzie , e,f- przekątne przecinające się pod kątem prostym.
Koniec dowodu
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.02.2015 - 02:46
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 24.02.2015 - 23:33
Warto się jeszcze zastanowić, czy zawsze łamana AOC leży w całości wewnątrz czworokąta (okaże się, że tak). Bo gdyby tak nie było, to trzeba ten przypadek oddzielnie potraktować.
Napisano 24.02.2015 - 23:52
Nie zastanawiałem się nad tym ale chyba będzie tak:
Łamana AOC mogła by nie zawierać się w całości w czworokącie tylko gdyby punkty ABCD należały do jednej połówki koła a to z kolei przeczy temu, że przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 24.02.2015 - 23:54
No właśnie chodzi o podanie konkretnego argumentu, dlaczego to "przeczy temu, że przekątne przecinają się pod kątem prostym."
Napisano 25.02.2015 - 00:28
Jeżeli cięciwa e jest prostopadła do cięciwy g to albo tworzą trójkąt prostokątny (zawierają się w jednej połówce koła) (ale wtedy nie mamy czworokąta), albo wyznaczają czworokąt.
Aby powstał czworokąt musimy dla cięciwy e wyznaczyć równoległą do cięciwy g cięciwę f, która będzie dłuższa a tym samym czworokąt rozpięty na tych przekątnych nie zmieści się na jednej połówce koła.
Nic elokwentniejszego teraz nie wymyśle może koledzy pomogą.
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.02.2015 - 02:46
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 26.02.2015 - 00:34
Raczej nie można tego zaliczyć jako precyzyjnej argumentacji Mogę dać wskazówkę, jak ja bym to robił, jeśli jest potrzeba.
Napisano 28.02.2015 - 13:37
Skoro czworokąt jest wpisany w okrąg to suma przeciwległych katów wynosi 180, a to oznacza, że któryś z trójkatów ABC lub ACD jest ostrokątny a ponieważ są wpisane w ten sam okrag to środek okręgu jest wewnątrz trójkata ostrokatnego, czyli wewnatrz czworokata. Do tego dochodzi też fakt, że przekatne przecinają się pod kątem prostym i można przeprowadzić dodatkową analizę.
Napisano 28.02.2015 - 17:01
suma przeciwległych katów wynosi 180, a to oznacza, że któryś z trójkatów ABC lub ACD jest ostrokątny
No to akurat nie jest prawda, ale w tym kierunku trzeba iść.
Taki argument wydaje się być całkiem elegancki:
Skoro , to można bez straty ogólności przyjąć, że .
Ale skoro jest prostokątny, to i podobnie . Czyli jest ostrokątny i wtedy lub jest prostokątny i wtedy .
W obu przypadkach pokazaliśmy, że punkt leży wewnątrz czworokąta .