Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Wyznacz krzywiznę



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 kasssienkaxd

kasssienkaxd

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 36 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.01.2015 - 19:53

Wyznaczyć krzywiznę w dowolnym punkcie M krzywych zadanych równaniem
 
r=a\sin2\theta
 
Bardzo dziękuje!

Użytkownik kasssienkaxd edytował ten post 15.01.2015 - 19:55

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.01.2015 - 21:59

Skorzystamy ze wzoru na krzywiznę krzywej w dowolnym punkcie M danej równaniem w układzie współrzędnych  biegunowych:

K = \frac{r^2 +2r'^2-rr''}{(r'^2 +r^2)^{\frac{3}{2}}}.

 

 r= a\sin(2\theta).

 r'= 2a\cos(2\theta).

r''=-4a\sin(2\theta).

 

 K= \frac{a^2\sin^2(\theta)+8a^2\cos^2(\theta)+4a^2\sin^2(\theta)}{\(4a^2\cos^2(2\theta)+a^2\sin^2(2\theta)\)^{\frac{3}{2}}}=\frac{8a^2\cos^2(\theta)+5a^2\sin^2(\theta)}{\[a^2(\cos^2(2\theta)+\sin^2(2\theta))\]^{\frac{3}{2}}}= \frac{3a^2\cos^2(2\theta)+5a^2\cos^2(2\theta)+5a^2\sin^2(2\theta)}{a^3(3\cos^2(2\theta)+cos^2(2\theta)+sin^2(2\theta))^{\frac{3}{2}}}=\frac{a^2(3\cos^2(2\theta)+5)}{a^3(3\cos^2(2\theta)+1)^{\frac{3}{2}}}= \frac{3\cos^2(2\theta)+5}{a(3\cos^2(2\theta)+1)^{\frac{3}{2}}}.

 

 

 

 


  • 1

#3 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.01.2015 - 22:04

k=\frac{a^2sin^22\theta+2(2a cos2\theta)^2+a sin2\theta\cdot4a sin2\theta}{\sqrt{\(a^2sin^22\theta+(2a cos2\theta)^2\)^3}}=\frac{5+3cos^22\theta}{a\sqrt{(1+3cos^22\theta)^3}}

największa krzywizna  k_{max}=\frac{5}{a}  dla  \theta=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}

najmniejsza krzywizna  k_{min}=\frac{1}{a}  dla  \theta=n\cdot\frac{\pi}{2}


  • 1