Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Rozwiń funkcję w szereg Laurenta w pierścieniu



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 aparat

aparat

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.01.2015 - 16:32

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Rozwiń funkcję f w szereg Laurenta w pierścieniu \{z\in C: 0<|z+1|<\sqrt[3]{3}\}, gdy f(z)=\frac{1}{z^3+3z^2+3z-2}


Użytkownik aparat edytował ten post 07.01.2015 - 16:33

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.01.2015 - 13:20

f(z)\quad=\quad\frac{1}{z^3+3z^2+3z-2}\quad=\quad\frac{1}{(z+1)^3-3}\quad=\quad...

Teraz mamy dwie możliwości. Można to dalej rozwinąć w taki sposób:

 

...\quad=\quad\frac{1}{(z+1)^3}\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{(z+1)^3}}\quad=\quad\frac{1}{(z+1)^3}\sum_{n=0}^{\infty}\[\frac{3}{(z+1)^3}\]^n\quad=\quad\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{(z+1)^{3n+3}}

 

Suma wtedy jest zbieżna dla \|\frac{3}{(z+1)^3}\|\,<\,1, czyli dla |z+1|\,>\,\sqrt[3]{3}. Ale niestety ten przedział nie zawiera się w zadanym pierścieniu, więc trzeba zastosować drugą metodę:

... \quad=\quad-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{(z+1)^3}{3}}\quad=\quad-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\[\frac{(z+1)^3}{3}\]^n\quad=\quad-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+1)^{3n}}{3^{n+1}}

 

Ta suma jest z kolei zbieżna dla \|\frac{(z+1)^3}{3}\|\,<\,1, czyli właśnie dla |z+1|\,<\,\sqrt[3]{3}. I takie jest własnie nasze szukanie rozwinięcie funkcji.

Warto przy tym zauważyć, że część osobliwa szeregu zredukowała się do zera - mamy więc do czynienia z niczym innym, jak ... szeregiem Taylora. Oznacza to, że w kole bez brzegu: z\in\mathbb{C}:\,|z+1|\,<\,\sqrt[3]{3} nie ma żadnych punktów nieholomorficzności funkcji f(z). I rzeczywiście - jakby chciało się rozwiązać równanie z^3+3z^2+3z-2\,=\,0, okazałoby się, że dwa z rozwiązań zespolonych leżą właśnie na okręgu |z+1|\,=\,\sqrt[3]{3}, a trzecie (czysto rzeczywiste nota bene) leży poza nim. Ale oczywiście wiedza o tym nie jest konieczna do rozwiązania zadania.


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=