Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Oblicz objętość obszaru ograniczonego powierzchniami



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
10 odpowiedzi w tym temacie

#1 Oluunka

Oluunka

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 1274 postów
439
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.01.2015 - 17:53

Mam obliczyć objętość obszaru ograniczonego takimi powierzchniami:

 

x+y+z=4,\,x=3,\,y=2,\,x=0,\,y=0,\,z=0

 

Ćwiczeniowiec policzył to jako całkę dwóch zmiennych tej postaci:

 

\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}4-x-y\,dydx

 

Ale dlaczego właściwie mamy całkować po prostokącie? Chciałam zrobić to jako sumę dwóch całek:

 

\int_{0}^{2}\,\int_{0}^{2}\,\int_{0}^{4-x-y}dzdydx\,+\,\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{4-x}\,\int_{0}^{4-x-y}dzdydx

 

ale otrzymuję całkiem inny wynik :(


  • 0

Regulamin

MimeTex


Jeśli klikniesz znak rep_up.png powiesz DZIĘKUJĘ !


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.01.2015 - 19:24

Obszar do policzenia to taki prostokątny ścięty klocek

 

Od góry ścięte płaszczyzną x+y+z=4 a boki (wymiary po x i y) to już masz w zasadzie podane jako 2\times 3 (są stałe) dlatego po prostokącie.


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.01.2015 - 19:40

Zapisy Wykładowcy i Twój nie są równoważne

Zapis wykładowcy wyraża objętość obszaru ograniczonego prostopadłościanem o podstawie prostokąta  P=\{ (x,y):0\leq x \leq 4, 0\leq y\leq 2\}\<span style= i płaszczyzną o równaniu

z =4-x-y

Twoja pierwsza od lewej całka  wyraża objętości obszaru ograniczonego prostopadłościanem o podstawie kwadratu K= \{(x,y):0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 2 \} "ściętego" płaszczyzną

 z= 4- x- y.

Druga całka wyraża objętość obszaru ograniczonego graniastosłupem o podstawie trapezu T=\{(x,y): 2\leq x\leq 3, 0\leq y\leq 4-x\} i plaszczyzną  z =4-x-y

 

Równoważny zapis, wykorzystujący całkę potrójną powinien wyglądać następująco

 

 V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x-y}dzdydx = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}z |_{0}^{4-x-y}dydx= \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}(4-x-y)dydx.

 

 


  • 1

#4 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.01.2015 - 00:31

Ćwiczeniowiec policzył to jako całkę dwóch zmiennych tej postaci:

 

\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}4-x-y\,dydx

Od góry ścięte płaszczyzną x+y+z=4 a boki (wymiary po x i y) to już masz w zasadzie podane jako 2\times 3 (są stałe) dlatego po prostokącie.

Równoważny zapis, wykorzystujący całkę potrójną powinien wyglądać następująco

 

 V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x-y}dzdydx = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}z |_{0}^{4-x-y}dydx= \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}(4-x-y)dydx.

 

Oluunka, nie słuchaj ich. Ci trzej faceci - ćwiczeniowiec, Jarekzulus i pan Janusz - nie mają o tym pojęcia.

bryła ograniczona podanymi sześcioma płaszczyznami ma objętość  V=9\frac{1}{6}

jedynie prawidłowy sposób policzenia tego to jest twoja suma dwóch całek


powierzchnia całkowita tej bryły  S\approx30,98766, ciekawe któremu panu wyjdzie tyle samo?


  • 1

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.01.2015 - 01:33

bryła ograniczona podanymi sześcioma płaszczyznami ma objętość V=9\frac{1}{6}

 

@Kinia7 a może tak nie masz racji - dopuszczasz taką ewentualność np. że objętość wynosi 9

 

a szukana objętość dotyczy ściętego prostopadłościanu.

pre_1420417886__z0.jpg


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 05.01.2015 - 02:39

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.01.2015 - 10:24

@Kinia7 a może tak nie masz racji - dopuszczasz taką ewentualność np. że objętość wynosi 9

nie dopuszczam, ja tą bryłę uzyskałam tak:

część przestrzeni  x\geq0\quad y\geq0\quad z\geq0 sieknęłam płaszczyzną  x+y+z=4

i otrzymałam ostrosłup o wymiarach  4X4X4

następnie od niego odcięłam płaszczyzną  y=2  ostrosłup o wymiarach  2x2x2

i płaszczyzną  x=3  ostrosłup o wymiarach  1x1x1, więc objętość bryły  V=\frac{1}{6}(4\cdot4\cdot4-2\cdot2\cdot2-1\cdot1\cdot1)=\frac{55}{6}=9\frac{1}{6}


  • 1

#7 Oluunka

Oluunka

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 1274 postów
439
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.01.2015 - 12:59

Moje rozumowanie jest podobne jak to które przedstawiła Kinia7. Zwłaszcza  że całkując po z od do 4-x-y przy takich granicach x i y dla x=3,\,y=2 otrzymamy z=4-3-2=-1 a przecież ucinamy płaszczyzną z=0 i od "naszej" bryły o objętości 9\frac{1}{6} odcinamy ostrosłup o wymiarach 1x1x1 czyli dokładnie o objętości 1*1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}=\frac{1}{6} czyli w wyniku faktycznie mielibyśmy 9\frac{1}{6} na +, \frac{1}{6} na - czyli 9.


Użytkownik Oluunka edytował ten post 05.01.2015 - 12:59

  • 0

Regulamin

MimeTex


Jeśli klikniesz znak rep_up.png powiesz DZIĘKUJĘ !


#8 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.01.2015 - 13:34

9 to jest wynik całki liczonej przez facetów (błędnie - po prostokącie),

ale ostrosłup pod płaszczyzną z=0 o V=1/6 nie należy do naszej bryły, gdyż ma z nią wspólną jedynie krawędź długości \sqrt{2}

gdyby mimo to traktować, że należy on do bryły, to łączna objętość bryły wynosiłaby  V=9\frac{2}{6}


wynik całki może być ujemny, ale zadanie brzmi oblicz objętość, a ta nie może być ujemna,

więc do obliczenia objętości trzeba umiejętnie posługiwać się całkami (panowie nie popisali się)


  • 1

#9 Oluunka

Oluunka

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 1274 postów
439
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.01.2015 - 14:00

Tak wiem że objętość nie może być ujemna. Chodziło mi o to że faktycznie przy liczeniu całki (a nie objętości) po prostokącie ten kawałek występuje z minusem. Stąd mniejszy wynik. Choć tu też chwila zastanowienia... Że nikogo nie zastanawia że całkując po większym obszarze otrzymujemy mniejszą objętość...
  • 0

Regulamin

MimeTex


Jeśli klikniesz znak rep_up.png powiesz DZIĘKUJĘ !


#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.01.2015 - 22:40

pre_1420491764__z01.jpg

Całkując po prostokącie policzymy "całość" tj. objętość V1=9\frac{1}{6} i objętość V2=\frac{1}{6} tyle, że objętość ta (V2) jest (automatycznie) odejmowana co w konsekwencji daje nam wynik 9.

 

żeby nie było wątpliwości wynik 9\frac{1}{6} jest wynikiem poprawnym jako objętość bryły V1

 

Umknął mi fakt, że część jest pod płaszczyzną Z=0 (tak mimo sporządzanego rysunku - może to przez porę i świąteczne roztargnienie)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 05.01.2015 - 22:43

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#11 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.01.2015 - 18:07

Umknął mi fakt, że część jest pod płaszczyzną Z=0 (tak mimo sporządzanego rysunku - może to przez porę i świąteczne roztargnienie)

przynajmniej jeden pan potrafił przyznać się do błędu

ciekawe, jak się zachowa ćwiczeniowiec?


  • 0