Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka z pierwiastka z trójmianu

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 884 postów
409
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.12.2014 - 12:27

Całki postaci \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}

można policzyć podstawieniami Eulera ale niektórzy jak Banaś mają kaprysy i zakazują ich stosowania
Jak drogą algebraiczną przedstawić całkę \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}

w postaci sumy trzech całek \int{R_{1}\left(x\right)\mbox{d}x}+\int{R_{2}\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}+\int{R_{3}\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}

Pierwsza całka już jest całką z funkcji wymiernej
Drugą całkę można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej podstawieniem t=\sqrt{ax^2+bx+c}

Trzecią całkę można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej podstawieniem t=\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}

 

Rozkład taki istnieje bo można go uzyskać stosując pomocniczo podstawienie cyklometryczne jednak ciekawy jestem jak go uzyskać na drodze algebraicznej

 

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3942 postów
3271
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.12.2019 - 12:16

Cześć

 

Minęło trochę czasu może coś w tej sprawie już wymyślono - odgrzebuje i czekam na pomysły.

z drugiej strony można by zacząć od tych podstawień cyklometrycznych i pokazać jak to działa

 

Pozdrawiam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 884 postów
409
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.02.2020 - 13:13

@Jarekzulus to podaj jakiś przykład całki tej postaci to pokażę jak  przedstawić tę całkę w postaci sumy trzech całek

Wtedy będzie jasne dlaczego wolałbym znaleźć taki rozkład drogą algebraiczną

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}
\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}

 

W powyższych całkach podstawienia Eulera bardzo dobrze pasują ale gdyby chciał rozbić te całki na sumę całek to

 

 

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}=\int{\frac{dx}{x\sqrt{2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}}}}\\</p>\\<p>=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dx}{x\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}}\\</p>\\<p>x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tan{t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{t}\right)\mbox{d}t\\</p>\\<p>=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\mbox{d}t}{\frac{1}{2}\left(1+\tan{t}\right)\sqrt{\frac{1}{4}\left(1+\tan^2{t}\right)}}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{t}\right)\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{\frac{\frac{1}{\cos{t}}\mbox{d}t}{\frac{\cos{t}+\sin{t}}{\cos{t}}}}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{\frac{\mbox{d}t}{\cos{t}+\sin{t}}}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{-\frac{\sin{t}}{\cos^2{t}-\sin^2{t}}\mbox{d}t}+\sqrt{2}\int{\frac{\cos{t}}{\cos^{2}{t}-\sin^{2}{t}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>

 

W ostatniej linijce skorzystałem z tego że funkcję można rozbić na

 

R\left(u,v\right)=\frac{R\left(u,v\right)-R\left(-u,v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,v\right)-R\left(-u,-v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,-v\right)+R\left(u,v\right)}{2}

 

 

Teraz jak dla każdej z tych całek wykonamy  z powrotem podstawienie x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tan{t}\\

 

To otrzymamy sumę całek

 

\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x+1}}\mbox{d}x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x+1}}\mbox{d}x}

 

 

 

i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie

u=\sqrt{2x^2-2x+1}

a do drugiej całki można zastosować podstawienie

v=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2x^2-2x+1}}

 

 

W przypadku całki

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}

rozkład wygląda podobnie

 

 

\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x-1}}\mbox{d}x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x-1}}\mbox{d}x}

 

i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie

u=\sqrt{2x^2-2x-1}

a do drugiej całki można zastosować podstawienie

v=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2x^2-2x-1}}

 

 

Sam widzisz że ten sposób uzyskania tego rozkładu nie jest zbyt efektywny

i dlatego szukam innego sposobu na znalezienie tego rozkładu

Przekształcenia algebraiczne mogłyby być ok


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 09.02.2020 - 14:49

  • 1