Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka niewymierna - przez podstawianie

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 antek

antek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 28.05.2008 - 16:17

Witam mam małe problemy z całką, może ktoś mi wytłumaczy jak się do tego zabrać?Całka ma być obliczona metodą przez podstawianie.
całka pod pierwiastkiem ax kwadrat + bx + c za pierwiastkiem dx delta mniejsza od 0
czyli \ \int \sqrt{ax^2+bx+c}\  dx\ i \ \Delta<0\


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3404 postów
3045
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.07.2015 - 01:05

*
Najwyższa ocena

Opcja 1 wykonaj szczególny przypadek tj. policz całkę \int \sqrt{5x^2+3x+7}dx

Zobaczysz jak w konkretnym przypadku rozwiązać a wersja ogólna przyjdzie sama :)

 

\int \sqrt{5x^2+3x+7}dx

 

Zapisujesz w postaci kanonicznej trójmian kwadratowy

 

=\int \sqrt{\left(\sqrt{5}x+\frac{3}{2\cdot \sqrt{5}}\right)^2+\frac{131}{20}}dx

 

można klasycznie 5\cdot(x-\frac{3}{10})^2+\frac{131}{20} wyjdzie na to samo

 

Następnie robimy podstawienie

 

u=\left(\sqrt{5}x+\frac{3}{2\sqrt{5}}\right):\quad \quad du=\sqrt{5}dx,\:\quad \:dx=\frac{1}{\sqrt{5}}du   więc   x=\frac{u}{\sqrt{5}}-\frac{3}{10}

 

=\int \sqrt{\left(\sqrt{5}x+\frac{3}{2\cdot \sqrt{5}}\right)^2+\frac{131}{20}}\frac{1}{\sqrt{5}}du

 

i po kilku przekształceniach dostaniesz

 

=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{2}\int \sqrt{4u^2+\frac{131}{5}}du

 

Teraz powinno być łatwiej :)

 

Całkę która została możesz zrobić na kilka sposobów (podstawienie będzie)

 

np tak: http://matma4u.pl/to...podstawienie-2/


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 24.07.2015 - 10:48

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2909 postów
403
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.07.2015 - 19:12

\int\sqrt{ax^2+bx+c}dx=

             \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\sqrt{(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}}=\sqrt{a}\sqrt{(x+\frac{b}{2a})^2+\(\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\)^2}=\sqrt{a}\sqrt{t^2+p^2}

=\sqrt{a}\int\sqrt{t^2+p^2}dt=\sqrt{a}\(\frac{t}{2}\sqrt{t^2+p^2}+\frac{p^2}{2}\ln(t+\sqrt{t^2+p^2})\)+C=

=\frac{x+\frac{b}{2a}}{2}\cdot\sqrt{a}\sqrt{t^2+p^2}+\sqrt{a}\frac{-\frac{\Delta}{4a^2}}{2}\ln\(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}}\)+C=

=\frac{2ax+b}{4a}\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{b^2-4ac}{8(\sqrt{a})^3}\ln\(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{ax^2+bx+c}{a}}\)+C
 


  • 2

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3404 postów
3045
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.07.2015 - 21:06

*
Najwyższa ocena

Propozycja Mariusza M

 

<br>\\\int{\sqrt{ax^2+bx+c}\mbox{d}x} \qquad \Delta<0\\<br>\\\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\\<br>\\ax^2+bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx+ax^2\\<br>\\bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx\\<br>\\2\sqrt{a}tx+bx=t^2-c\\<br>\\x\left(2\sqrt{a}t+b\right)=t^2-c\\<br>\\x=\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br>\\\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x=t-\sqrt{a}\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b}=\frac{2\sqrt{a}t^2+bt-\sqrt{a}t^2+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br>\\\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{2t\left(2\sqrt{a}t+b\right)-2\sqrt{a}\left(t^2-c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{2\sqrt{a}t^2+2bt+2\sqrt{a}c}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t\\<br>\\2\int{\frac{\left(\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c\right)^2}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}\mbox{d}t}\\<br>\\2\int{\frac{\left(at^4+b^2t^2+ac^2+2\sqrt{a}bt^3+2act^2+2\sqrt{a}bct\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}\mbox{d}t}\\<br>\\2\int{\frac{at^4+2\sqrt{a}bt^3+\left(2ac+b^2\right)t^2+2*sqrt{a}bct+ac^2}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}\mbox{d}t}\\<br>\\\frac{1}{8a}\int{\frac{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^4}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{4ac-b^2}{4a}\int{\frac{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{\left(16a^2c^2+b^4-8ab^2c\right)}{8a}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}}\\<br>\\\frac{1}{8a}\int{\left(2\sqrt{a}t+b\right)\mbox{d}t}+\frac{\left(16a^2c^2+b^4-8ab^2c\right)}{8a}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^3}}+\frac{4ac-b^2}{4a}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)}}\\<br>\\=\frac{\sqrt{a}}{32a^2}\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2-\frac{\left(16a^2c^2+b^4-8ab^2c\right)\sqrt{a}}{32a^2}\cdot\frac{1}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{\sqrt{a}}{32a^2}\frac{\left(\left(2\sqrt{a}t+b\right)^4-\left(16a^2c^2+b^4-8ab^2c\right)\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{\sqrt{a}}{32a^2}\frac{\left(\left(2\sqrt{a}t+b\right)^4-\left(4ac-b^2\right)^2\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{\sqrt{a}}{32a^2}\frac{\left(\left(4at^2+4\sqrt{a}bt+b^2\right)^2-\left(4ac-b^2\right)^2\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{\sqrt{a}}{32a^2}\frac{\left(4at^2+4\sqrt{a}bt+b^2+4ac-b^2\right)\left(4at^2+4\sqrt{a}bt+b^2-4ac+b^2\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{\sqrt{a}}{32a^2}\frac{\left(4at^2+4\sqrt{a}bt+b^2+4ac-b^2\right)\left(4at^2+4\sqrt{a}bt+b^2-4ac+b^2\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{1}{4a}\frac{\left(\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c\right)\left(2a\left(t^2-c\right)+b\left(2\sqrt{a}t+b\right)\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\=\frac{1}{4a}\left(2ax+b\right)\sqrt{ax^2+bx+c}+\frac{\left(4ac-b^2\right)\sqrt{a}}{8a^2}\ln{\left|2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+c}\right|}+C<br>\\

Założyłem że a>0 inaczej pod pierwiastkiem mielibyśmy
tylko liczby ujemne

 

Dodatkowo wyprowadziłem wzór redukcyjny który może być stosowany zamiast współczynników nieoznaczonych

 

\int{\frac{x^{n}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}\\<br>\\=\frac{1}{a}\int{\frac{x^{n-1}\left(ax+\frac{b}{2}\right)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}-\frac{b}{2a}\int{\frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}\\<br>\\=\frac{1}{a}\left(x^{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c}-\left(n-1\right)\int{x^{n-2}\sqrt{ax^2+bx+c}\mbox{d}x}\right)-\frac{b}{2a}\int{\frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{x^{n}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}=\frac{1}{a}x^{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{1}{a}\left(n-1\right)\int{\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}-\frac{b}{2a}\int{\frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}\\<br>\\n\int{\frac{x^{n}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}=\frac{1}{a}x^{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{b}{2a}\left(2n-1\right)\int{\frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}-\frac{c}{a}\left(n-1\right)\int{\frac{x^{n-2}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{x^{n}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}=\frac{1}{na}x^{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{b}{2na}\left(2n-1\right)\int{\frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}-\frac{c}{na}\left(n-1\right)\int{\frac{x^{n-2}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n+2}=\frac{1}{\left(n+2\right)a}x^{n+1}\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{b}{2\left(n+2\right)a}\left(2n+3\right)I_{n+1}-\frac{c}{\left(n+2\right)a}\left(n+1\right)I_{n}\\<br>\\I_{1}=\int{\frac{x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}=\frac{1}{a}\left(\int{\frac{ax+\frac{b}{2}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}-\frac{b}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}\right)\\<br>\\I_{1}=\int{\frac{x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mbox{d}x}=\frac{1}{a}\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{b}{2a}I_{0}\\<br>\\

\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}\qquad a>0\\<br>\\\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\\<br>\\ax^2+bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx+ax^2\\<br>\\bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx\\<br>\\2\sqrt{a}tx+bx=t^2-c\\<br>\\x\left(2\sqrt{a}t+b\right)=t^2-c\\<br>\\x=\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br>\\t-\sqrt{a}x=\frac{2\sqrt{a}t^2+bt-\sqrt{a}t^2+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}=\frac{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{2t\left(2\sqrt{a}t+b\right)-2\sqrt{a}\left(t^2-c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{2\left(\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t\\<br>\\\int{\frac{2\sqrt{a}t+b}{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}\cdot\frac{2\left(\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t}\\<br>\\\int{\frac{2}{2\sqrt{a}t+b}\mbox{d}t}=\frac{1}{\sqrt{a}}\int{\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{a}t+b}\mbox{d}t}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln{\left|2\sqrt{a}t+b\right|}+C\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln{\left|2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+c}\right|}+C\qquad a>0\\<br>\\

<br>\\\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}} \qquad a<0\\<br>\\\sqrt{a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}=\left(x-x_{1}\right)t\\<br>\\a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=\left(x-x_{1}\right)^2t^2\\<br>\\a\left(x-x_{2}\right)=\left(x-x_{1}\right)t^2\\<br>\\ax-ax_{2}=xt^2-x_{1}t^2\\<br>\\xt^2-ax=x_{1}t^2-ax_{2}\\<br>\\x\left(t^2-a\right)=x_{1}t^2-ax_{2}\\<br>\\x=\frac{x_{1}t^2-ax_{2}}{t^2-a}=\frac{x_{1}t^2-ax_{1}+ax_{1}-ax_{2}}{t^2-a}=x_{1}+\frac{a\left(x_{1}-x_{2}\right)}{t^2-a}\\<br>\\\left(x-x_{1}\right)t=\frac{a\left(x_{1}-x_{2}\right)t}{t^2-a}\\<br>\\\mbox{d}x=a\left(x_{1}-x_{2}\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(t^2-a\right)^{-2}\cdot 2t\mbox{d}t\\<br>\\\mbox{d}x=-\frac{2a\left(x_{1}-x_{2}\right)t}{\left(t^2-a\right)^2}\mbox{d}t\\<br>\\-2\int{\frac{t^2-a}{a\left(x_{1}-x_{2}\right)t}\cdot\frac{a\left(x_{1}-x_{2}\right)t}{\left(t^2-a\right)^2}\mbox{d}t}\\<br>\\-2\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2+\left(-a\right)}}=-\frac{2}{\left(-a\right)}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(\frac{t}{\sqrt{-a}}\right)^2+1}}\\<br>\\=-\frac{2}{\sqrt{-a}}\int{\frac{\frac{1}{\sqrt{-a}}}{\left(\frac{t}{\sqrt{-a}}\right)^2+1}\mbox{d}t}=-\frac{2}{\sqrt{-a}}\arctan{\left(\frac{t}{\sqrt{-a}}\right)}+C\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}=-\frac{2}{\sqrt{-a}}\arctan{\left(\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\sqrt{-a}}\right)}+C \qquad a<0\\<br>\\

 

 

to się nazywa wywód :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.07.2015 - 19:29

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską