Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka funkcji niewymiernej 2

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
7 odpowiedzi w tym temacie

#1 majewa888

majewa888

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 66 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.10.2014 - 18:30

\int \sqrt{x^2-36} dx
Pomoże ktoś w obliczeniu tej całki? :(


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.10.2014 - 19:25

\bl I=\int \sqrt{x^2-36} dx

 

I=\int\frac{x^2-36}{\sqrt{x^2-36}}dx=\int\frac{x^2}{sqrt{x^2-36}}dx-36\int\frac{1}{sqrt{x^2-36}}dx=I_1-36I_2

 

I_1=\int\frac{x^2}{sqrt{x^2-36}}dx=\left[\begin{array}{cc}f(x)=x &\ f'(x)=1\\ g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-36}} &\ g(x)=sqrt{x^2-36}\end{array}\right]=x\sqrt{x^2-36}-\int\sqrt{x^2-36}dx=x\sqrt{x^2-36}-I

 

I_2=\int\frac{1}{sqrt{x^2-36}}dx=\ln\|x+sqrt{x^2-36}\|+C_1

 

I=x\sqrt{x^2-36}-I-36\ln\|x+sqrt{x^2-36}\|-36C_1\gr\ \Rightarrow\ 2I=x\sqrt{x^2-36}-36\ln\|x+sqrt{x^2-36}\|-36C_1

 

\re I=\frac12x\sqrt{x^2-36}-18\ln\|x+sqrt{x^2-36}\|+C

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Liczbynieklamia

Liczbynieklamia

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 27 postów
21
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.10.2014 - 19:27

Jeśli umiesz policzyć \int \frac{1}{cos^3x} oraz \int \frac{1}{cosx} to do swojej całki możesz użyć podstawienia

x=\frac{6}{cost}, wtedy dx=\frac{6sint}{cos^2t}dt i wstawiając

\int 6\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}-1}\cdot 6\frac{sint}{cos^2t}dt=

\int 36\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}-\frac{cos^2t}{cos^2t}}\cdot \frac{sint}{cos^2t}dt=

36\int \sqrt{\frac{sin^2t}{\cos^2t}}\cdot \frac{sint}{cos^2t}dt=

36\int \frac{sin^2t}{cos^3t}dt=36\int \frac{1-cos^2t}{cos^3t}dt


  • 1

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.10.2014 - 21:01

*
Najwyższa ocena

Zajrzyj do kompendium - są tam przykłady które mogą pomoc

 

http://matma4u.pl/to...podstawienie-4/

 

http://matma4u.pl/to...podstawienie-2/

 

http://matma4u.pl/to...podstawienie-1/

 

 

--------------------------------------------------------

Można jeszcze tak:

 

\int \sqrt{x^2-36}dx=\int\sqrt{36}\sqrt{\frac{x^2}{36}-1}dx=6\int\sqrt{(\frac{x}{6})^2-1}dx

 

Teraz robisz podstawienie

 

x=\frac{6}{cos(t)}           więc         dx=\frac{6sin(t)}{cos^2(t)}dt=6\frac{sin(t)}{cos(t)}\cdot \frac{1}{cos(t)}dt=6/tan(t)\cdot \frac{1}{cos(t)}dt=\frac{6 \tan(t)}{cos(t)}dt

 

6\int\sqrt{(\frac{x}{6})^2-1}dx=6\int\sqrt{\(\frac{\(\frac{6}{cos(t)}\)}{6}\)^2-1}\cdot \frac{6 \tan(t)}{cos(t)}dt=6\int\sqrt{\frac{36}{cos^2(t)\cdot 36}-1}\cdot \frac{6 \tan(t)}{cos(t)}dt=6\int\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}\cdot \frac{6 \tan(t)}{cos(t)}dt=6\int\sqrt{\frac{sin^2(t)+cos^2(t)-cos^2(t)}{cos^2(t)}}\cdot \frac{6 \tan(t)}{cos(t)} dt

 

W ostanim wykorzystano wzór na jednynkę trygonometryczną

 

=6\int\sqrt{\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}}\cdot \frac{6 \tan(t)}{cos(t)}dt=6\int tan(t)\cdot \frac{6 \tan(t)}{cos(t)}dt=36\int\frac{tan^2(t)}{cos(t)}dt

 

Teraz tak tan^2(t)=\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{sin^2(t)+cos^2(t)-cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}-1

 

więc mamy

 

36\int\frac{tan^2(t)}{cos(t)}dt=36\int\frac{\frac{1}{cos^2(t)}-1}{cos(t)}dt=36\int\frac{1}{cos^3(t)}-\frac{1}{cos(t)}dt=36\int\frac{dt}{cos^3(t)}-36\int\frac{dt}{cos(t)}

 

Obliczenie tych całek już nie jest trudne choć po wszystkim odwrócenie podstawienia będzie kłopotliwe.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.10.2014 - 21:22

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.10.2014 - 11:22

Tę całkę wygodnie jest policzyć podstawieniem

 

\sqrt{x^2-36}=t-x

 

Licząc przez części i tak dostaniemy całkę którą wygodnie jest liczyć tym podstawieniem więc można podstawiać od razu

\int{\frac{\mbox{d}t}{\cos{t}}}=\int{\frac{\mbox{d}t}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}}}=\int{\frac{\mbox{d}t}{2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)}}}

\int{\frac{\mbox{d}t}{2\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)}\cos^{2}{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)}}}

 

i stosujemy podstawienie u=\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)}

 

Ja jednak wolę podstawienia Eulera

 


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 26.10.2014 - 11:30

  • 1

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.10.2014 - 18:35

Podejście Mariusza M

 

\int \sqrt{x^2-36}dx

 

\sqrt{x^2-36}=t-x                       do kwadratu

x^2-36=t^2-2tx+x^2         czyli             x=\frac{36+t^2}{2t}           a stąd             dx=\frac{2t\cdot 2t-(36+t^2)\cdot 2}{4t^2}dt=\frac{t^2-36}{2t^2}dt

 

t=\sqrt{x^2-36}+x

 

więc

 

\int \sqrt{x^2-36}dx=\(t-\frac{36+t^2}{2t}\)\cdot \frac{t^2-36}{2t^2}dt=\int \(\frac{2t^2-36-t^2}{2t}\)\cdot \frac{t^2-36}{2t^2}dt=\int\frac{(t^2-36)^2}{4t^3}dt=\int\frac{t^4-72t^2+36^2}{4t^3}dt=\frac{1}{4}\int tdt-18\int\frac{dt}{t}+324\int\frac{dt}{t^3}

 

Dalej to już z górki.


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 FONKRAUZ

FONKRAUZ

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 18 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.10.2014 - 11:25

A możesz rozwiązać dalej z tymi kosinusami i dlaczego tam są takie liczby jak 324, innymi metodami nie wychodzą takie rzeczy. Jest ok?


  • 0

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.10.2014 - 01:56

\int\frac{1}{cos(x)}

 

Podstawienie trygonometryczne (tangens połowy kąta)

 

t=tan\(\frac{x}{2}\)

 

cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

 

dx=\frac{2}{1+t^2}dt

 

\int\frac{1}{cos(x)}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt =2\int\frac{dt}{1-t^2}=2\int\frac{dt}{(1-t)(1+t)}

 

Rozkłada na ułamki proste

 

\int\frac{dt}{(1-t)(1+t)}=\int\frac{A}{(1-t)}+\frac{B}{(1+t)}dt Wychodzi A=\frac{1}{2}    B=\frac{1}{2}

 

2\(\frac{1}{2}\cdot \int\frac{dt}{(1-t)}+\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{(1+t)}\)=-ln|1-t|+ln|1+t|+C=ln|1+t|-ln|1-t|+C=ln\|\frac{1+t}{1-t}\|+C=ln\|\frac{1+tan\(\frac{x}{2}\)}{1-tan\(\frac{x}{2}\)}\|+C

 

Dla 

 

\int \frac{dx}{cos^3(x)} robisz tak samo

 

\int \frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=2\int\frac{1+2t^2+t^4}{1-3t^2+3t^4-t^6}dt

 

Rozkład na ułamki proste

 

\frac{1+2t^2+t^4}{1-3t^2+3t^4-t^6}=\frac{\frac{1}{4}}{1+t}-\frac{\frac{1}{4}}{(1+t)^2}+\frac{\frac{1}{2}}{(1+t)^3}-\frac{\frac{1}{4}}{t-1}-\frac{\frac{1}{4}}{(t-1)^2}-\frac{\frac{1}{2}}{(1-t)^3}

 

Dalsza część już prosta


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.10.2014 - 01:56

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską