Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

K kul w n komórkach



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
16 odpowiedzi w tym temacie

#1 baasiaa

baasiaa

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 24 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.10.2014 - 09:45

Do n komórek wrzucamy losowo k kul. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna komórka będzie pusta.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 matma4u

matma4u

    Admin Wszechmocny :)

  • Administrator
  • Redaktor
  • 1224 postów
441
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.10.2014 - 11:16

Kiedyś podobne zadanie widziałem na: http://math.stackexc...alls-to-n-cells

Niestety z braku czasu nie jestem w stanie bardziej rozwinąć tego tematu.


  • 1

Regulamin

.

MimeTeX

.

Możesz dać innemu użytkownikowi pochwałę klikając na znak Dołączona grafika przy jego poście.


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.10.2014 - 19:43

Kule są rozróżnialne.

1) Wybieramy dwie kule na { k \choose 2} sposobów.

2) Wrzucamy je do wybranej na  n sposobów komórki.

3)Z pozostałych komórek wybieramy pustą na  n-1 sposobów.

4)Umieszczamy pozostałe k-2 kul w  n-2 komórkach na  \frac{(n-2)!}{(n-2-k+2)!}= \frac{(n-2)!}{(n-k)!} sposobów.

Sprzyjających układów jest

 {k\choose 2}\cdot n(n-1)\cdot \frac{(n-2)!}{(n- k)!}= {k\choose 2}\frac{n!}{(n-k)!}.


  • 1

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.10.2014 - 20:49

*
Najwyższa ocena

Sprzyjających układów jest

\ ...\ = {k\choose 2}\frac{n!}{(n-k)!}.

 

Jeśli będzie 5 kul i 3 komórki to otrzymamy  \bl{5\choose 2}\frac{3!}{(-2)!}. Nie wiem ile to jest  \bl(-2)!?

 

ja mam inną propozycję

wszystkich możliwych rozkładów k kul w n komórkach jest    {n+k-1\choose n-1}

rozkładów z jedną pustą komórką jest    n\cd{k-1\choose n-2}

 

więc prawdopodobieństwo    \re P=\frac{n(n-1)(k-1)!k!}{(k+n-1)!(k-n+1)!}

 

można to łatwo sprawdzić np. w ten sposób:

jeśli mamy dwie komórki i jedną kulę, to musi być P=1

wzór, który podał janusz, takiego wariantu nie przewiduje 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#5 baasiaa

baasiaa

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 24 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.10.2014 - 21:25

Dziękuję, ale interesuje mnie jeszcze sytuacja gdy do n komórek rozrzucę losowo n kul. Czy wystarczy, że jedynie podstawię n zamiast k we wzorze?


  • 0

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.10.2014 - 21:44

Oczywiście  ;)

 

musi być spełniony warunek  \bl k\geq n-1>0

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

Użytkownik bb314 edytował ten post 19.10.2014 - 21:50

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#7 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.10.2014 - 20:46

Wróćmy do przypadkowego rozmieszczania  k kul w  n komórkach, przy założeniu, że każde rozmieszczenie ma prawdopodobieństwo n^{-k}.

Niech   A_{l} oznacza zdarzenie, że komórka o numerze  l jest pusta, l= 1, 2,...,n. W tym przypadku wszystkie  k kul rozmieszczone jest w pozostałych  (n-1) komórkach, co może być zrealizowane na (n-1)^{k} różnych sposobów. Podobnie, istnieje (n-2)^{k} rozmieszczeń pozostawiąjących  pustymi dwie z góry wyznaczone komórki.

 

Zgodnie z tym   p_{i}= \(1- \frac{1}{n}\)^{k},\ \ p_{i,j}= \(1 -\frac{2}{n}\)^{k},\ \ p_{i,j, l}= \(1-\frac{3}{n}\)^{k}., a stąd dla każdego \nu \leq n suma

 S_{\nu}= {n\choose \nu}(1-\frac{\nu}{n}\)^{k}.

 

Na podstawie zasady włączeń i wyłączeń - prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna komórka jest pusta dane jest równością

 P= S_{1}- S_{2}+ S_{3}- S_{4}+ ...+(-1)^{n}S_{n} . Wobec tego prawdopodobieństwo, że wszystkie komórki są zajęte wynosi  P_{0}= 1- P= 1- S_{1}+S_{2}-S_{3}+S_{4}-...- (-1)^{n}S_{n} czyli

 P_{0}(k, n)= \sum_{\nu=0}^{n}(-1)^{\nu}{ n\choose \nu}\(1-\frac{\nu}{n}\)^{k}.

 

Rozpatrzmy, teraz rozmieszczenie , przy którym dokładnie   m komórek jest pustych. Te komórki można wybrać na  {n\choose m} sposobów,  k kul jest zaś jest rozmieszczonych w pozostałych  n- m komórkach, tak że żadna z nich nie jest pusta. Ilość takich rozmieszczeń równa jest

 (n-m)^{k}P_{0}(k, n-m) (1)

Dzieląc równość (1) przez  n^{k} - otrzymujemy prawdopodobieństwo, że zostanie dokładnie  m komórek pustych

P_{m}(k, n)= {n \choose m}\(1- \frac{m}{n}\)^{k}P_{0}(k, n-m)= {n\choose m}\sum_{\nu= 0}^{n- m}(-1)^{\nu}\(\frac{n-m}{\nu}\)\(1- \frac{m+ \nu}{n})^{k}. (2)

 

Podstawiając do wzoru (2)  m=1 - otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie jedna komórka pozostanie pusta

 P_{1}(k, n)= {n\choose 1}\sum_{\nu =0}^{n-1}(-1)^{\nu}\(\frac{n-1}{\nu}\)\( 1- \frac{1+ \nu}{n}\)^{k}.

 

Bez zasady "włączeń- wyłączeń"  tego zadania nie da rozwiązać.

Pani bb314  wynik jest błędny.


Użytkownik janusz edytował ten post 21.10.2014 - 20:50

  • 1

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.10.2014 - 21:50

 P_{1}(k, n)= {n\choose 1}\sum_{\nu =0}^{n-1}(-1)^{\nu}\(\frac{n-1}{\nu}\)\( 1- \frac{1+ \nu}{n}\)^{k}.

 

Bez zasady "włączeń- wyłączeń"  tego zadania nie da rozwiązać.

Pani bb314  wynik jest błędny.

 

myślę, że wkradł się błąd - \nu w mianowniku, może miało być:

 P_{1}(k, n)= {n\choose 1}\sum_{\nu =0}^{n-1}(-1)^{\nu}\(\frac{n-1}{n}\)\( 1- \frac{1+ \nu}{n}\)^{k}

 

wówczas

 P_{1}(1, 2)= {2\choose 1}\sum_{\nu =0}^{1}(-1)^{\nu}\(\frac{1}{2}\)\( 1- \frac{1+ \nu}{2}\)^{1}\bl=\frac12\ \re\neq1  źle

 
jeśli są dwie komórki i jedna kula, to zawsze będzie dokładnie jedna komórka pusta, czyli musi być \bl P_1\(1,\,2\)=1
\bl k=1\ \ \ n=2
\Omega=\begin{array}{.c.c.}\\1&0\\0&1\end{array}\ \to\ |\Omega|=2\ \ \ \ \ \ A=\begin{array}{.c.c.}\\1&0\\0&1\end{array}\ \to\ |A|=2\gr\ \Rightarrow\ P=\frac{|A|}{|\Omega|}\ \gr\ \Rightarrow\ \re P=1
 
\bl k=3\ \ \ n=3
\Omega=\begin{array}{.c.c.c.}\\3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\\1&2&0\\1&0&2\\2&1&0\\2&0&1\\0&1&2\\0&2&1\\1&1&1\end{array}\ \to\ |\Omega|=10\ \ \ \ \ \ A=\begin{array}{.c.c.c.}\\1&2&0\\1&0&2\\2&1&0\\2&0&1\\0&1&2\\0&2&1\end{array}\ \to\ |A|=6\gr\ \Rightarrow\ P=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{10}\gr\ \Rightarrow\ \re P=\frac35
z Twojego wzoru  wychodzi  P_1\(3,\,3\)=\frac{14}{27}
 
\bl k=4\ \ \ n=3
\Omega=\begin{array}{.c.c.c.p}\\4&0&0&\ \to\ 3\ szt.\\3&1&0&\ \to\ 6\ szt.\\2&2&0&\ \to\ 3\ szt.\\2&1&1&\ \to\ 3\ szt.\end{array}\to|\Omega|=15\ \ \ \ \ \ A=\begin{array}{.c.c.c.p}3&1&0&\ \to\ 6\ szt.\\2&2&0&\ \to\ 3\ szt.\end{array}\ \to|A|=9\gr\ \RightarrowP=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{15}\gr\ \Rightarrow\re P=\frac35
z Twojego wzoru  wychodzi  P_1\(4,\,3\)=\frac{10}{27}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


Użytkownik bb314 edytował ten post 22.10.2014 - 22:03

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2014 - 10:26

Jeśli mamy 1 kulę i dwie komórki to  p= \frac{1}{2} a nie 1.


Źle inerpretowane rozmieszczenia  Jeszcze raz patrz Wiliam Feller:  Wstęp do Rachunku Prawdopodobieńatwa PWN Warszawa.

 

 P_{1}(3, 3)= { 3\choose 1}\sum_{\nu=0}^{3-1}(-1)^{\nu}{3-1\choose \nu}\(1- \frac{1+\nu}{3}\)^{3}= \frac{2}{3}\neq \frac{10}{27}\neq \frac{3}{5}.


Użytkownik janusz edytował ten post 22.10.2014 - 11:33

  • 1

#10 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.10.2014 - 12:54

 P_{1}(k, n)= {n\choose 1}\sum_{\nu =0}^{n-1}(-1)^{\nu}\(\frac{n-1}{\nu}\)\( 1- \frac{1+ \nu}{n}\)^{k}.

 

czyli wkradł Ci się inny błąd - kreska ułamkowa w nawiasie, prawidłowy Twój wzór

P_{1}(k, n)= {n\choose 1}\sum_{\nu =0}^{n-1}(-1)^{\nu}{n-1\choose \nu}\( 1- \frac{1+ \nu}{n}\)^{k}\gr\ \Rightarrow\ \bl P(k,\,n)=n\cd\sum_{\nu =0}^{n-2}(-1)^{\nu}{n-1\choose \nu}\( 1- \frac{1+ \nu}{n}\)^{k}\ \ \ \(^{*1}\)

 

 

Jeśli mamy 1 kulę i dwie komórki to  p= \frac{1}{2} a nie 1.

 

To ciekawe, bo wg Twojego wzoru \(^{*1}\)   

 

\re P(1,\,2)=2\cd\sum_{\nu =0}^{2-2}(-1)^{\nu}{2-1\choose \nu}\( 1- \frac{1+ \nu}{2}\)^{1}=2\cd\sum_{\nu =0}^{0}(-1)^{\nu}{1\choose \nu}\( 1- \frac{1+ \nu}{2}\)=2\cd(-1)^{0}{1\choose 0}\( 1- \frac{1+0}{2}\)=2\cd1\cd1\cd\frac12 \re=1

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   :shifty: \   :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#11 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2014 - 18:33

Jak widzimy wzór jest prawdziwy i nie da się go wyrazić bez sumy.

Rzeczywiście zamiast {..\choose...} , podałem omyłkowo frac{}


Użytkownik janusz edytował ten post 22.10.2014 - 18:36

  • 1

#12 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.10.2014 - 22:04

Jak widzimy wzór jest prawdziwy i nie da się go wyrazić bez sumy.

 

Widzimy, że wzór daje dobry wynik dla  k=1\ \ n=2

 

\bl k=2\ \ \ n=2
 
\Omega=\begin{array}{.c.c.}\\2&0\\0&2\\1&1\end{array}\ \to\ |\Omega|=3\ \ \ \ \ \ A=\begin{array}{.c.c.}\\2&0\\0&2\end{array}\ \to\ |A|=2\gr\ \Rightarrow\ P=\frac{|A|}{|\Omega|}\gr\ \Rightarrow\ \re P=\frac23
 
Twój wzór daje   P(2,\,2)=2\cd\sum_{\nu =0}^{0}(-1)^{\nu}{1\choose \nu}\( 1- \frac{1+ \nu}{2}\)^{2}=2\cd(-1)^0{1\choose0}\(1-\frac{1+0}{2}\)^2=2\cd1\cd1\cd\frac14\ \re=\frac12
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#13 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2014 - 14:13

 |\Omega|= 2^2 =4 \neq 3,\ \ P_{1}(2,2)= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}


Użytkownik janusz edytował ten post 23.10.2014 - 14:17

  • 1

#14 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.10.2014 - 14:39

 |\Omega|= 2^2 =4 \neq 3,\ \ P_{1}(2,2)= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}

 

Czy mógłbyś rozpisać zbiór \Omega?

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#15 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2014 - 15:05

 \Omega =\{ <2,0>, <0, 2>, <1, 1>, <1, 1> \}


  • 2

#16 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.10.2014 - 09:00

 \Omega =\{ <2,0>, <0, 2>, <1, 1>, <1, 1> \}

 

Dziękuje. Do tej pory byłam przekonana, że dziesięć jednakowych kul w dziesięciu komórkach, tak żeby w każdej była jedna kula, można umieścić tylko w jeden sposób. Okazuje się, że można to zrobić na 3628800 sposobów. 

A na ile sposobów można to wykonać, jeżeli każda kula jest innego koloru?

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

Koleżanko baasiaa. Nie wiem czy Ciebie to jeszcze interesuje, ale ostatecznie prawidłową odpowiedzią na Twoje pytanie zadane w pierwszym poście jest wzór, który wyprowadził janusz
 
                                                    \bl\fbox{\ P(k,\,n)=n\cd\sum_{j=0}^{n-2}(-1)^{j}{n-1\choose j}\(\ \\1- \frac{1+ j}{n}\\\ \)^{k}\ }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#17 baasiaa

baasiaa

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 24 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.10.2014 - 18:53

Nie myślałam, że to będzie aż tak rozbudowany problem. Jeszcze raz dziękuję wam za pomoc.


  • 0