Do n komórek wrzucamy losowo k kul. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna komórka będzie pusta.
#1
Napisano 19.10.2014 - 09:45
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 19.10.2014 - 11:16
Kiedyś podobne zadanie widziałem na: http://math.stackexc...alls-to-n-cells
Niestety z braku czasu nie jestem w stanie bardziej rozwinąć tego tematu.
#3
Napisano 19.10.2014 - 19:43
Kule są rozróżnialne.
1) Wybieramy dwie kule na sposobów.
2) Wrzucamy je do wybranej na sposobów komórki.
3)Z pozostałych komórek wybieramy pustą na sposobów.
4)Umieszczamy pozostałe kul w komórkach na sposobów.
Sprzyjających układów jest
#4
Napisano 19.10.2014 - 20:49
Najwyższa ocena
Sprzyjających układów jest
Jeśli będzie 5 kul i 3 komórki to otrzymamy . Nie wiem ile to jest ?
ja mam inną propozycję
wszystkich możliwych rozkładów kul w komórkach jest
rozkładów z jedną pustą komórką jest
więc prawdopodobieństwo
można to łatwo sprawdzić np. w ten sposób:
jeśli mamy dwie komórki i jedną kulę, to musi być
wzór, który podał janusz, takiego wariantu nie przewiduje
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#5
Napisano 19.10.2014 - 21:25
Dziękuję, ale interesuje mnie jeszcze sytuacja gdy do n komórek rozrzucę losowo n kul. Czy wystarczy, że jedynie podstawię n zamiast k we wzorze?
#6
Napisano 19.10.2014 - 21:44
Oczywiście
musi być spełniony warunek
Użytkownik bb314 edytował ten post 19.10.2014 - 21:50
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#7
Napisano 21.10.2014 - 20:46
Wróćmy do przypadkowego rozmieszczania kul w komórkach, przy założeniu, że każde rozmieszczenie ma prawdopodobieństwo
Niech oznacza zdarzenie, że komórka o numerze jest pusta, W tym przypadku wszystkie kul rozmieszczone jest w pozostałych komórkach, co może być zrealizowane na różnych sposobów. Podobnie, istnieje rozmieszczeń pozostawiąjących pustymi dwie z góry wyznaczone komórki.
Zgodnie z tym , a stąd dla każdego suma
Na podstawie zasady włączeń i wyłączeń - prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna komórka jest pusta dane jest równością
. Wobec tego prawdopodobieństwo, że wszystkie komórki są zajęte wynosi czyli
Rozpatrzmy, teraz rozmieszczenie , przy którym dokładnie komórek jest pustych. Te komórki można wybrać na sposobów, kul jest zaś jest rozmieszczonych w pozostałych komórkach, tak że żadna z nich nie jest pusta. Ilość takich rozmieszczeń równa jest
(1)
Dzieląc równość (1) przez - otrzymujemy prawdopodobieństwo, że zostanie dokładnie komórek pustych
(2)
Podstawiając do wzoru (2) - otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie jedna komórka pozostanie pusta
Bez zasady "włączeń- wyłączeń" tego zadania nie da rozwiązać.
Pani bb314 wynik jest błędny.
Użytkownik janusz edytował ten post 21.10.2014 - 20:50
#8
Napisano 21.10.2014 - 21:50
Bez zasady "włączeń- wyłączeń" tego zadania nie da rozwiązać.
Pani bb314 wynik jest błędny.
myślę, że wkradł się błąd - w mianowniku, może miało być:
wówczas
źle
Użytkownik bb314 edytował ten post 22.10.2014 - 22:03
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#9
Napisano 22.10.2014 - 10:26
Jeśli mamy 1 kulę i dwie komórki to a nie 1.
Źle inerpretowane rozmieszczenia Jeszcze raz patrz Wiliam Feller: Wstęp do Rachunku Prawdopodobieńatwa PWN Warszawa.
Użytkownik janusz edytował ten post 22.10.2014 - 11:33
#10
Napisano 22.10.2014 - 12:54
czyli wkradł Ci się inny błąd - kreska ułamkowa w nawiasie, prawidłowy Twój wzór
Jeśli mamy 1 kulę i dwie komórki to a nie 1.
To ciekawe, bo wg Twojego wzoru
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#11
Napisano 22.10.2014 - 18:33
Jak widzimy wzór jest prawdziwy i nie da się go wyrazić bez sumy.
Rzeczywiście zamiast {..\choose...} , podałem omyłkowo frac{}
Użytkownik janusz edytował ten post 22.10.2014 - 18:36
#12
Napisano 22.10.2014 - 22:04
Jak widzimy wzór jest prawdziwy i nie da się go wyrazić bez sumy.
Widzimy, że wzór daje dobry wynik dla
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#13
Napisano 23.10.2014 - 14:13
Użytkownik janusz edytował ten post 23.10.2014 - 14:17
#14
Napisano 23.10.2014 - 14:39
Czy mógłbyś rozpisać zbiór ?
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#15
Napisano 23.10.2014 - 15:05
#16
Napisano 25.10.2014 - 09:00
Dziękuje. Do tej pory byłam przekonana, że dziesięć jednakowych kul w dziesięciu komórkach, tak żeby w każdej była jedna kula, można umieścić tylko w jeden sposób. Okazuje się, że można to zrobić na 3628800 sposobów.
A na ile sposobów można to wykonać, jeżeli każda kula jest innego koloru?
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#17
Napisano 25.10.2014 - 18:53
Nie myślałam, że to będzie aż tak rozbudowany problem. Jeszcze raz dziękuję wam za pomoc.