Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Wyznacz obszar holomorficzności funkcji zespolonej (warunki C-K)



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Krump

Krump

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 26 postów
4
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.10.2014 - 17:58

f(z)=z^2\cdot z - z (te po z^2) jest sprzężone, ale nie wiedziałem jak je zrobić

 

Szczerze, to zawsze staram się najpierw zrobić zadanie, aby mieć podstawę, ale za to nie wiem kompletnie jak się zabrać. Nie mam żadnych danych, typu co to jest, czy koło, czy odcinek w punkcie tym i tym.


Użytkownik Krump edytował ten post 12.10.2014 - 13:28

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.10.2014 - 22:45

f(z)= z^2\cdot \overline{z} - z,

 z=x+ iy,

 f(x+iy)= (x+iy)^2\cdot (x- iy)- (x+iy)= (x+iy)\[(x+iy)\cdot(x- iy) -1\]= (x+iy)\(x^2 +y^2-1\) = x^3+x y^2- x +i(x^2y +y^3 -y).

 

Warunki Cauchy-Riemanna

u'_{|x}= 3x^2+ y^2 -1= x^2+3y^2 -1=v'_{|y}, 

u'_{|y} = 2x y = -2xy= -v'_{|x}. 

 2x^2 -2y^2 =0, (1)

 4xy =0. (2)

 

Dodając i odejmując stronami równania (1), (2) otrzymujemy odpowiednio

 (2(x^2+2xy-y^2)=0) \vee (2(x^2 -2xy -y^2)=0), (3)

x^2+2xy +y^2-2y^2=0)\vee (x^2_-2xy+y^2-2y^2=0),

\[(x+y)^2-2y^2= 0\] \vee \[(x-y)^2-2y^2=0\],

(x+y -\sqrt{2}y)(x+y +\sqrt{2}y)=0 \vee (x-y -\sqrt{2}y)(x-y +\sqrt{2}y)=0.

Równania (3) przedstawiają po dwie pary prostych, przecinających w punkcie  (0, 0)  o równaniach odpowiednio

y=-\frac{1}{1-\sqrt{2}}x,\ \ y= -\frac{1}{1+\sqrt{2}}x,\ \ y= \frac{1}{1+\sqrt{2}}x,\ \ y=\frac{1}{1-\sqrt{2}}x.

 

W otoczeniu  punktów "leżących" na tych prostych wraz z punktem o współrzędnych  (0, 0) funkcja f jest holomorficzna.

 

 

 


  • 1

#3 Krump

Krump

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 26 postów
4
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.10.2014 - 19:29

przepraszam tam po sprzężonym z nie jest minus tylko myślnik, miało być to odwołanie apropo tego sprzężenia

 

f(z) = z^2 \cdot \overline{z}

 

Ale raczej dużo się nie zmieni, więc ten przykład powinien mi starczyć do rozwiązania.


Mógłby mi ktoś powiedzieć, skąd wynika ten punkt (0,0)? Wynika to z 1 i 2 równania?


Użytkownik Krump edytował ten post 12.10.2014 - 13:33

  • 0

#4 Krump

Krump

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 26 postów
4
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.10.2014 - 19:13

Jest możliwość wyjaśnienia tej rzeczy? :)


  • 0

#5 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.10.2014 - 19:28

Bo, po pierwsze  proste te "przechodzą" przez ten punkt, po drugie jest to punkt wyróżniony na płaszczyźnie C.


  • 1

#6 Krump

Krump

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 26 postów
4
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.10.2014 - 21:07

to że przechodzą przez ten punkt wynika ze wzorów 1 i 2? A o co chodzi z tym wyróżnieniem. 

 

Przepraszam, że pytam, ale chce wiedzieć co się dzieje, aby jak dostane inny podobny przypadek, już sobie poradzić.


  • 0