Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Problem z wielomianami



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
17 odpowiedzi w tym temacie

#1 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.10.2014 - 18:43

Mógłby mi ktoś pomóc z tymi zadaniami?

 

Zapisz za pomocą znaku sumy \sum lub iloczynu

b)2+4+6+8+10

c) \frac{1}{2}*1*4*8*16

 

Rozłóż podane wielomiany o współczynnikach rzeczywistych na czynniki nierozkładalne i określ krotność ich pierwiastów:

a) x^5-15x^3-10x^2+60x+72

b) x^4-2x^3+2x^3-2x+1


Użytkownik Seq edytował ten post 04.10.2014 - 18:48

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.10.2014 - 19:45

Z tym poziomem trudności to chyba przegiołeś

 

b)

\sum_{i=1}^{5}2i=2+4+6+8+10=30

 

c)chyba brakuje po "1" razy 2, bo masz raz mnożone przez 4 a powinno być razy 2 zawsze

\prod_{i=1}^{6}2^{-2+i}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot 4\cdot 8\cdot 16=512

 

--------------

 

Użyj schematu Hornera

 

x^5-15x^3-10x^2+60x+72=(x-3)^2\cdot (x+2)^3        -2-pierwiastek trzykrotny, 3-pierwiastek dwukrotny

 

I tu chyba też błąd w przepisywaniu - wyrazy się kasują. Chyba powinno być tak

x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x-1)^2(x^2+1)           1-pierwiastek dwukrotny

 

 

x^4-2x^3+2x^3-2x+1=(x-1)(x^3+x^2+x-1) i tu miałbyś duży problem z wyznaczeniem drugiego pierwiastka, prócz jedynki


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.10.2014 - 20:03

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.10.2014 - 20:23

Właśnie problem w tym, że wszystko jest dobrze przepisane. Zadanie pierwsze z sigma zrobiłem dobrze, ale przy drugim nie wiedziałem co zrobić, więc już zwątpiłem czy 1 jest dobrze zrobiony.. Wolałem oby dwa napisać. Możliwe, że jakiś błąd w druku ;/

 

Co do zadania z wielomianami to wgl nie wiedziałem jak się za to zabrać. Zaraz spróbuje to zrobić i jak gdzieś napotkam problem to znowu napiszę. 

 

@edit

 

Szczerze mówiąc dalej nie mam pojęcia jak to zrobić. Mógłbyś mnie jakoś naprowadzić? (jak je rozłożyć na te czynniki nierozkładalne)

Do tej pory pracowałem tylko na krótszych, które mogłem pogrupować i wyciągnąć przed nawias.. Tutaj jakoś nie mogę nawet zacząć..


Użytkownik Seq edytował ten post 04.10.2014 - 20:50

  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.10.2014 - 23:56

Skoro nie ma błędu przy iloczynie to może zapisz jako iloczyn iloczynu (dwa razy zapisz za pomocą \prod)

 

Co do wielomianów to grupowanie sprawdza się tylko w niektórych przypadkach. Zazwyczaj wykorzystuje się twierdzenie Bezouta które mówi jaka liczba może być pierwiastkiem wielomiany a następnie dzielimy wielomian (przydatna umiejętność -dzielenie wielomiany przez wielomian a algorytm bardzo podobny po zwykłego dzielenia liczb z jedną małą różnicą) lub wykonujemy schemat Hornera.

 

Dla przykładu

W(x)=x^5-15x^3-10x^2+60x+72

 

Sprawdzam czy któryś dzielnik wyrazu wolego nie jest pierwiastkiem i mam W(3)=243-405-90+180+72=0 czyli liczba 3 jest pierwiastkiem tego wielomiany a zatem wielomian dzieli się przez (x-3)

 

(x^5-15x^3-10x^2+60x+72):(x-3)=x^4+3x^3-6x^2-28x-24 Dzielenia możesz się sam nauczyć, jest bardzo proste i jest kilka przykładów na youtube

 

Dla x^4+3x^3-6x^2-28x-24 znowu robimy to samo tj. przeszukujemy dzielniki wyrazu wolnego w poszukiwaniu pierwiastka

i mamy V(3)=81+81-54-84-24=0 a zatem 3 jest pierwiastkiem

 

(x^4+3x^3-6x^2-28x-24):(x-3)= x^3+6x^2+12x+8

 

I ponownie przeszukujemy dzielniki wyrazu wolnego w poszukiwaniu pierwiastków i mamy

U(-2)=-8+24-24+8=0 a zatem -2 jest pierwiastkiem

 

(x^3+6x^2+12x+8):(x+2)=x^2+4x+4

 

A teraz to już z górki, możesz policzyć \Delta i masz postać iloczynową lub ponownie poszukiwanie i dzielnie

 

(x^2+4x+4):(x+2)=x+2

 

czyli

 

x^5-15x^3-10x^2+60x+72=(x-3)(x-3)(x+2)(x+2)(x+2)

 

Metoda dość długa ale jak nabierzesz wprawy niektóre kroki będą iść niemal automatycznie


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.10.2014 - 23:57

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 00:46

a jest jakiś sposób, żeby od razu znaleźć największy pierwiastek wielomianu? Czy trzeba robić to "etapami"?


  • 0

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 15:10

Tak od razu to nie ma. Owszem możesz zacząć sprawdzać dzielnik wyrazu wolnego od największego. Ale z praktyki wiem, że zawsze sprawdzam 1 lub -1 na początku bo szybko się liczy i można oszacować czy warto szukać tych małych czy może zacząć sprawdzać te duże. Ale to tylko kwestia praktyki. Tobie może podrasować inny system.


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 18:16

próbuje podzielić  x^5-15x^3-10x^2+60x+72):(x-3)

i jakoś mi to nie wychodzi..

 

x^5-15x^3-10x^2+60x+72):(x-3)  = x^4

x^5 + 3x^4

=== +  ??

 

Jak zabrać się za -15x^3 + 3x^4 ?

  

 

 


  • 0

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.10.2014 - 20:21

W drugiej linijce masz zły znak - powinno być -x^5

to co podkreśliłeś - wykonujesz dodawanie i otrzymujesz

3x^4-15x^3-10x^2+60x+72

pierwszy składnik dzielisz przez x, otrzymujesz 3x^3

mnożysz przez (x-3) i podpisujesz pod spodem z przeciwnymi znakami, czyli

-3x^4+9x^3

podkreślasz i wykonujesz dodawanie itd.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 22:39

Nie wpisałem minusa. U mnie na kartce normalnie jest ;p

nie o to mi chodzi. Jako tako te dzielenie na innych przykładach mi wychodzi, ale tutaj nie wiem jak się za to zabrać. Zawsze robię tak, że wynik z tego dzielenia mnożę (w tej sytuacji akurat x^4 przez to co dzielę (x-3) piszę z odwrotnym znakiem i wykonuję te dodawanie. Tutaj jakoś nie bardzo wiem jak to zrobić (normalnie zawszę mogę odjąć oby dwa wyniki x^4*x i x^4*3. Tutaj nie wiem jak odjąć te 3x^4

 

Czyli po prostu jak nie mogę odjąć tego (3x^4) to mam z tym postępować tak jak z resztą wielomianu?


Użytkownik Seq edytował ten post 05.10.2014 - 22:41

  • 0

#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 22:56

\re{x^4}\gr{+3x^3}\bl{-6x^2}\cyan{-28x}\magenta{-24}

________________________

  x^5-15x^3-10x^2+60x+72):(x-3)

\re{-x^5+3x^4}

______________

        3x^4-15x^3

      \gr{-3x^4+9x^3}

      _______________

                  -6x^3-10x^2

                    \bl{6x^3-18x^2}

                  _______________

                            -28x^2+60x

                              \cyan{28x^2-84x}

                            ______________

                                      -24x+72

                                        \magenta{24x-72}

                                       ____________

                                         =      =

 

 

Dzielisz prawie tak samo jak liczby - stąd taki zapis , ALE UWAGA JEDNA RÓŻNICA: jak możesz to zmieniasz znak na przeciwny stąd np x^4\cdot x= x^5 i zapisujesz ze zmienionym znakiem -x^5 (zawsze jak mnożysz) reszta bez zmian.

 

Oddzieliłem kolorem kolejne kroki dzielenia by było przepyszniej. Mam nadzieje, że dzielenie wielomianów teraz będzie w pełni zrozumiałe.


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#11 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 23:09

Bardzo dziękuje za takie wytłumaczenie.. trochę Cię to musiało czasu kosztować..

Bardzo mi to pomoże ;) Mam jeszcze pytanie czy jeżeli miałbym zamiast 15x^3   3x^4 albo 15x^4 to mogę to odjąć z 3x^4 które wyszło z mnożenia x^4*-3?


  • 0

#12 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.10.2014 - 23:27

No tak odejmujesz jak jednomiany są w tej samej potędze jak nie to to musisz przepisać jak w zwykłam dzieleniu. Tak jak masz to niżej kiedy oba składniki można odjąć. Taka sytuacja jak tu pojawia się jeśli nie masz w wielomianie jednomianu we wszystkich potęgach (to jest którejś nie ma w wyjściowym - tu brakuje a_k x^4 to znaczy jest tyle, że a_k=0)


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#13 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.10.2014 - 00:14

a jak np zamiast 60x byłoby w tamtym przykładzie 3x^4 to mógłbym to odjąć spisując na początku poprzednie?


  • 0

#14 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.10.2014 - 00:37

No a jak inaczej :) Przecież różnych jednomianów nie możemy odjąć. Zrób kilka przykładów a dla sprawdzenia pomnóż i zobacz czy wyszedł poprawny wynik.

 

Jak zawsze trening czyni mistrza. W razie wątpliwości pytaj


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#15 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.10.2014 - 15:32

Dzięki wielkie za pomoc ;) Mam jeszcze problem z tym przykładem (pisałem go u góry, ale jednak napisałem z błędem ;P)

 

x^4-2x^3+2x^2-2x+1

podzieliłem przez (x-1) i wynik wyszedł  x^3+x^2+x-1 i tu mam problem z wyznaczeniem kolejnego pierwiastka..


  • 0

#16 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.10.2014 - 18:11

Masz błąd w dzieleniu powinno być x^3-x^2+x-1 i możesz grupować lub dziel przez (x-1)

 

Ale jeśli będziesz miał x^3+x^2+x-1 (w innym zadaniu)

 

No mówiłem, że łatwo nie będzie:

 

Tu pierwiastkiem (jedynym) jest:

 

\frac{1}{3} \(-1-\frac{2}{\sqrt[3]{17+3 \sqrt{33}}}+\sqrt[3]{17+3 \sqrt{33}}\)

 

wynik mam dzięki komputerowi więc nie oczekuj podpowiedzi :) jak to obliczyć


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 06.10.2014 - 21:26

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#17 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.10.2014 - 19:19

x^4-2x^3+2x^2-2x+1

podzieliłem przez (x-1) i wynik wyszedł  x^3+x^2+x-1 i tu mam problem z wyznaczeniem kolejnego pierwiastka..

 

(x^4-2x^3+2x^2-2x+1):(x-1)=\ \bl x^3-x^2+x-1

 

(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1\gr\ \Rightarrow\ \re x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x-1)(x-1)(x^2+1)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#18 Seq

Seq

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 30 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.10.2014 - 21:33

a no faktycznie.. powinien być minus.. To wiele wyjaśnia :P Dzięki :)


  • 0